Skrócenie długości – zadanie nr 2

Długość statku kosmicznego zmierzona przez nieruchomego obserwatora znajdującego się na Ziemi jest równa 1/3 jego długości spoczynkowej. Oblicz z jaką prędkością względem obserwatora porusza się statek kosmiczny.

Fizyka relatywistyczna, w przeciwieństwie do fizyki nierelatywistycznej, daje poprawny opis zdarzeń, w których obiekty poruszają się z prędkością dużo mniejszą oraz bliską prędkości światła w próżni c. W zadaniu możemy wyróżnić dwa układy odniesienia: jeden – związany z kosmonautą znajdującym się na statku kosmicznym oraz drugi – z obserwatorem przebywającym na Ziemi. Zgodnie z treścią zadania, długość L  statku zmierzona przez obserwatora na Ziemi jest trzykrotnie mniejsza od jego długości spoczynkowej L₀ . Wynik ten oznacza konieczność uwzględnienia efektów relatywistycznych, ponieważ zgodnie z teorią opisującą zjawisko skrócenia długości statek kosmiczny musi poruszać się z prędkością bliską prędkości światła c. Obliczenie prędkości statku będzie więc wymagało skorzystania z wzoru opisującego zjawisko skrócenia długości:

$$L = L_0 \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \tfrac{V}{c} \right)^2}$$

gdzie V  to prędkość statku kosmicznego.

Wartość V  uzyskamy przekształcając powyższy wzór do postaci:

$$V = c \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \frac{L}{L_0} \right)^2}$$

Korzystając z zależności L  = 1/3 L₀ , otrzymamy:

$$V = c \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \frac{L_0}{3 \hspace{.05cm} L_0} \right)^2} = c \hspace{.1cm} \sqrt{\frac{\mathstrut 8}{9}} = \frac{2 \hspace{.02cm} \sqrt{2}}{3} c$$

Prędkość statku kosmicznego równa  $V = \frac{2 \hspace{.03cm} \sqrt{2}}{3} \hspace{.05cm} c$  odpowiada prędkości V  = 2,8 ∙ 10⁸ m/s.