Siła Lorentza – zadanie nr 1

Elektryczność i magnetyzm - zadania
Brak komentarzy
Drukuj

Cząstka α wpada w pole magnetyczne o indukcji B  = 0,02 T prostopadle do kierunku wektora indukcji B  i zatacza krąg o promieniu r  = 0,2 m. Oblicz energię cząstki α i wyraź ją w keV. Masa cząstki α jest znana i wynosi 4,0027 a.j.m.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

rozwiązanie

Zgodnie z treścią zadania mamy obliczyć energię cząstki α tj. jądra helu 24He, składającego się z dwóch protonów oraz dwóch neutronów. Cząstka ta wpadając w obszar zewnętrznego pola magnetycznego zaczyna poruszać się po okręgu, dlatego też szukaną energią jest jej energia kinetyczna Ekα, którą możemy obliczyć stosując poniższy wzór:

Ekα=12mαVα2

gdzie mα i Vα to odpowiednio masa oraz prędkość cząstki α.

Masa cząstki α podana jest w treści zadania. Prędkość Vα  musimy znaleźć. Zgodnie z teorią na każdą cząstkę naładowaną elektrycznie, a więc także i na cząstkę α, znajdującą się w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B  działa siła Lorentza FB  o wartości:

FB=|q|VBsinφ

gdzie:
q  – ładunek cząstki,
φ  – kąt zawarty pomiędzy wektorem prędkości V a wektorem indukcji B.

Powyższe równanie zapisane dla cząstki α wynosi:

FB=|qα|VαBsinφ

Siła Lorentza działając na cząstkę α powoduje odchylanie od linii prostej toru ruchu tej cząstki. Wiemy, że cząstka α wpada w obszar pola magnetycznego prostopadle do kierunku wektora indukcji B  (VαB ), w związku z czym kąt φ  = 90o, a więc:

FB=|qα|VαBsin90o=|qα|VαB

Ponieważ VαB, dlatego ruch cząstki α odbywa się po okręgu (w przypadku, gdyby kąt φ  nie był kątem prostym, cząstka ta poruszałaby się po linii śrubowej – zobacz: Siła Lorentza – zadanie nr 8). Zwróć uwagę, że zgodnie z poniższym rysunkiem siła Lorentza FB, działająca na cząstkę, skierowana jest wzdłuż promienia r  okręgu, do jego środka (aby sprawdzić czy jest tak w rzeczywistości zastosuj regułę lewej lub prawej dłoni dla wektorów Vα  i  B ):

ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym po okręgu o promieniu r - rysunek schematyczny - siła Lorentza - zadanie nr 1
Ruch cząstki α po okręgu o promieniu r. Wektor indukcji B jest skierowany prostopadle przed płaszczyznę rysunku (zwrócony w naszym kierunku), a wektor prędkości Vα  jest prostopadły do wektora B.

Ze względu na fakt, że siła Lorentza skierowana jest zawsze prostopadle do toru cząstki, nie może ona wpływać na zmianę wartości prędkości cząstki α. Może ona jednak wpływać na zmianę jej kierunku ruchu (a więc zmieniać zwrot wektora prędkości) i w tym właśnie znaczeniu siła ta może przyspieszać cząstkę. Zapisując dla tego przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona (Fwyp=ma), dostaniemy:

|qα|VαB=mαVα2r

gdzie Vα2r  to przyspieszenie dośrodkowe cząstki α.

Skracając stronami oraz przekształcając powyższe równanie względem prędkości Vα, otrzymamy:

Vα=|qα|Brmα

Podstawiając to wyrażenie do wzoru na energię kinetyczną Ekα, dostaniemy:

Ekα=12mαVα2=12mα|qα|2B2r2mα2=|qα|2B2r22mα=(2e)2B2r22mα

(w miejsce qα  wstawiliśmy ładunek cząstki α równy +2 e )

Zamieniając masę cząstki α wyrażoną w atomowych jednostkach masy (a.j.m.) na kilogramy – 1 a.j.m. = 1,66 ⋅ 10-27 kg, zatem 4,0027 a.j.m. = 6,6445 ⋅ 10-27 kg – oraz po podstawieniu jej wraz z pozostałymi wartościami liczbowymi do powyższego wzoru otrzymamy szukaną wartość Ekα, równą:

Ekα=(21,60211019C)2(0,02T)2(0,2m)226,64451027kg=1,241016J

Aby wyrazić energię kinetyczną Ekα  w kiloelektronowoltach (keV) skorzystamy z poniższej zależności:

1eV=1,61019J

Mamy zatem:

Ekα=1,241016J1eV1,61019J=775eV=0,775keV

Dodaj komentarz