Siła Lorentza – zadanie nr 1

Cząstka α wpada w pole magnetyczne o indukcji B  = 0,02 T prostopadle do kierunku wektora indukcji $\vec{B}$  i zatacza krąg o promieniu r  = 0,2 m. Oblicz energię cząstki α i wyraź ją w keV. Masa cząstki α jest znana i wynosi 4,0027 a.j.m.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Zgodnie z treścią zadania mamy obliczyć energię cząstki α tj. jądra helu $^4_2 \textrm{He}$, składającego się z dwóch protonów oraz dwóch neutronów. Cząstka ta wpadając w obszar zewnętrznego pola magnetycznego zaczyna poruszać się po okręgu, dlatego też szukaną energią jest jej energia kinetyczna E_kα, którą możemy obliczyć stosując poniższy wzór:

$$E_{k \alpha} = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m_{\alpha} \hspace{.05cm} V_{\alpha}^2$$

gdzie m_α i V_α to odpowiednio masa oraz prędkość cząstki α.

Masa cząstki α podana jest w treści zadania. Prędkość V_α  musimy znaleźć. Zgodnie z teorią na każdą cząstkę naładowaną elektrycznie, a więc także i na cząstkę α, znajdującą się w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B  działa siła Lorentza $\vec{F}_B$  o wartości:

$$F_B = |q| \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} B \hspace{.15cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \varphi$$

gdzie:
q  – ładunek cząstki,
φ  – kąt zawarty pomiędzy wektorem prędkości $\vec{V}$ a wektorem indukcji $\vec{B}$.

Powyższe równanie zapisane dla cząstki α wynosi:

$$F_B = |q_{\alpha}| \hspace{.05cm} V_{\alpha} \hspace{.05cm} B \hspace{.15cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} \varphi$$

Siła Lorentza działając na cząstkę α powoduje odchylanie od linii prostej toru ruchu tej cząstki. Wiemy, że cząstka α wpada w obszar pola magnetycznego prostopadle do kierunku wektora indukcji $\vec{B}$  ($\vec{V}_{\alpha} \perp \vec{B}$ ), w związku z czym kąt φ  = 90^o, a więc:

$$F_B = |q_{\alpha}| \hspace{.05cm} V_{\alpha} \hspace{.05cm} B \hspace{.15cm} \textrm{sin} \hspace{.03cm} 90^{\textrm{o}} = |q_{\alpha}| \hspace{.05cm} V_{\alpha} \hspace{.05cm} B$$

Ponieważ $\vec{V}_\alpha \perp \vec{B}$, dlatego ruch cząstki α odbywa się po okręgu (w przypadku, gdyby kąt φ  nie był kątem prostym, cząstka ta poruszałaby się po linii śrubowej – zobacz: Siła Lorentza – zadanie nr 8). Zwróć uwagę, że zgodnie z poniższym rysunkiem siła Lorentza $\vec{F}_B$, działająca na cząstkę, skierowana jest wzdłuż promienia r  okręgu, do jego środka (aby sprawdzić czy jest tak w rzeczywistości zastosuj regułę lewej lub prawej dłoni dla wektorów $\vec{V}_\alpha$  i  $\vec{B}$ ):

Ze względu na fakt, że siła Lorentza skierowana jest zawsze prostopadle do toru cząstki, nie może ona wpływać na zmianę wartości prędkości cząstki α. Może ona jednak wpływać na zmianę jej kierunku ruchu (a więc zmieniać zwrot wektora prędkości) i w tym właśnie znaczeniu siła ta może przyspieszać cząstkę. Zapisując dla tego przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona ($\vec{F}_{wyp} = m \cdot \vec{a}$), dostaniemy:

$$|q_{\alpha}| \hspace{.05cm} V_{\alpha} \hspace{.05cm} B = m_{\alpha} \hspace{.05cm} \frac{V_{\alpha}^2}{r}$$

gdzie $\dfrac{V^2_{\alpha}}{r}$  to przyspieszenie dośrodkowe cząstki α.

Skracając stronami oraz przekształcając powyższe równanie względem prędkości V_α, otrzymamy:

$$V_{\alpha} = \frac{|q_{\alpha}| \hspace{.05cm} B \hspace{.1cm} r}{m_{\alpha}}$$

Podstawiając to wyrażenie do wzoru na energię kinetyczną E_kα, dostaniemy:

$$E_{k \alpha} = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m_{\alpha} \hspace{.05cm} V_{\alpha}^2 = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m_{\alpha} \hspace{.05cm} \frac{|q_{\alpha}|^2 \hspace{.05cm} B^2 \hspace{.05cm} r^2}{m_{\alpha}^2} = \frac{|q_{\alpha}|^2 \hspace{.05cm} B^2 \hspace{.05cm} r^2}{2 \hspace{.05cm} m_{\alpha}} = \frac{\left( 2 \hspace{.05cm} e \right)^2 \hspace{.05cm} B^2 \hspace{.05cm} r^2}{2 \hspace{.05cm} m_{\alpha}}$$

(w miejsce q_α  wstawiliśmy ładunek cząstki α równy +2 e )

Zamieniając masę cząstki α wyrażoną w atomowych jednostkach masy (a.j.m.) na kilogramy – 1 a.j.m. = 1,66 ⋅ 10^-27 kg, zatem 4,0027 a.j.m. = 6,6445 ⋅ 10^-27 kg – oraz po podstawieniu jej wraz z pozostałymi wartościami liczbowymi do powyższego wzoru otrzymamy szukaną wartość E_kα, równą:

$$E_{k \alpha} = \frac{\left( 2 \cdot 1,\hspace{-.1cm}6021 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{C} \right)^2 \cdot \left( 0,\hspace{-.1cm}02 \hspace{.05cm} \textrm{T} \right)^2 \cdot \left( 0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2}{2 \cdot 6,\hspace{-.1cm}6445 \cdot 10^{-27} \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = 1,\hspace{-.1cm}24 \cdot 10^{-16} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Aby wyrazić energię kinetyczną E_kα  w kiloelektronowoltach (keV) skorzystamy z poniższej zależności:

$$1 \hspace{.05cm} \textrm{eV} = 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Mamy zatem:

$$E_{k \alpha} = \frac{1,\hspace{-.1cm}24 \cdot 10^{-16} \hspace{.05cm} \textrm{J} \cdot 1 \hspace{.05cm} \textrm{eV}}{1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{J}} = 775 \hspace{.05cm} \textrm{eV} = 0,\hspace{-.1cm}775 \hspace{.05cm} \textrm{keV}$$