Siła Lorentza – zadanie nr 2

Oblicz częstotliwość zmian pola elektrycznego w cyklotronie, za pomocą którego przyspieszamy protony. Indukcja stosowanego pola magnetycznego wynosi B  = 1,2 T. Masa protonu jest znana i wynosi 1,6726 ⋅ 10^-27 kg.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Cyklotron to rodzaj akceleratora, czyli urządzenia służącego do przyspieszania cząstek naładowanych elektrycznie. Ruch cząstek wewnątrz cyklotronu odbywa się po spirali. Jeżeli spiralę potraktujemy jako zbiór współśrodkowych okręgów (okręgów o wspólnym środku, lecz różnym promieniu), wówczas dla każdej z przyspieszanych cząstek prawdziwe jest poniższe równanie (zobacz: Siła Lorentza – zadanie nr 1):

$$|q| \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} B = m \hspace{.05cm} \frac{V^2}{r}$$

gdzie:
q, m  i V  to odpowiednio ładunek, masa oraz prędkość przyspieszanej cząstki,
B  – indukcja pola magnetycznego,
r  – promień okręgu, po którym porusza się cząstka.

Podstawą działania cyklotronu jest warunek rezonansu, zgodnie z którym proces przyspieszania cząstek zachodzi tylko wtedy, gdy częstotliwość zmian pola elektrycznego w cyklotronie równa jest częstotliwości cząstki krążącej w polu magnetycznym cyklotronu. W związku z powyższym faktem, aby znaleźć częstotliwość zmian pola elektrycznego wystarczy obliczyć częstotliwość obiegu protonów w tym akceleratorze.

Prędkość ciała w ruchu jednostajnym po okręgu, równą:

$$V = \omega \hspace{.05cm} r$$

możemy powiązać z częstotliwością f  jego ruchu. Ponieważ prędkość kątowa ω  wynosi:

$$\omega = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f$$

dlatego:

$$V = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f \hspace{.05cm} r$$

Dzieląc obydwie strony równania $|q| V B = m \dfrac{V^2}{r}$ przez V  i następnie wstawiając do niego powyższy wzór, dostaniemy:

$$|q| \hspace{.05cm} B = m \hspace{.05cm} \frac{2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f \hspace{.05cm} r}{r} = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} f \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} f = \frac{|q| \hspace{.05cm} B}{2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} m}$$

Wprowadzając do wzoru na częstotliwość f  oznaczenia odnoszące się do protonu (indeks dolny p), dostaniemy:

$$f = \frac{|q_p| \hspace{.05cm} B}{2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} m_p} = \frac{e \hspace{.05cm} B}{2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} m_p}$$

gdzie:
q_p  – ładunek protonu równy +e  = 1,6021 ⋅ 10^-19 C,
m_p  – masa protonu.

Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń dostaniemy szukaną wartość częstotliwości f, równą:

$$f = \frac{1,\hspace{-.1cm}6021 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{C} \cdot 1,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{T}}{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14 \cdot 1,\hspace{-.1cm}6726 \cdot 10^{-27} \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = 18,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{MHz}$$