Siła Lorentza – zadanie nr 3

Jaki będzie promień okręgu zatoczonego przez cząstkę α w polu magnetycznym o indukcji B  = 10 T, jeżeli jej energia kinetyczna wynosi E_kα  = 10 MeV? Cząstka wpada w pole magnetyczne prostopadle do kierunku wektora indukcji $\vec{B}$. Masa cząstki α jest znana i wynosi 6,6445 ⋅ 10^-27 kg.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Zgodnie z treścią zadania, cząstka α wpada w pole magnetyczne prostopadle do kierunku wektora indukcji $\vec{B}$. Oznacza to, że jej ruch w polu magnetycznym będzie odbywać się po okręgu o promieniu r. Wartość tego promienia będziemy mogli obliczyć stosując poniższy wzór (zobacz: Siła Lorentza – zadanie nr 1):

$$|q_{\alpha}| \hspace{.05cm} V_{\alpha} \hspace{.05cm} B = m_{\alpha} \frac{V_{\alpha}^2}{r}$$

gdzie:
q_α, V_α  i m_α  to odpowiednio ładunek, prędkość oraz masa cząstki α,
B  – indukcja pola magnetycznego,
r  – promień okręgu, po którym porusza się cząstka α.

Ładunek cząstki α jest równy + 2e  = 2 ⋅ 1,6021 ⋅ 10^-19 C = 3,2042 ⋅ 10^-19 C. Masa m_α  podana jest w treści zadania. Aby obliczyć promień r  musimy jeszcze znać wartość prędkości V_α. Prędkość tą możemy powiązać z energią kinetyczną cząstki α równą E_kα  = 10 MeV. Energia ta wyrażona jest w megaelektronowoltach (MeV), w związku z czym będziemy musieli ją wyrazić w podstawowej jednostce energii w układzie SI, czyli w dżulach (J). Wiedząc, że:

$$1 \hspace{.05cm} \textrm{eV} = 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

mamy:

$$E_{k \alpha} = \frac{1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{J} \cdot 10 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{eV}}{1 \hspace{.05cm} \textrm{eV}} = 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-12} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Teraz korzystając ze wzoru na energię kinetyczną możemy wyrazić prędkość cząstki α jako:

$$E_{k \alpha} = \frac{1}{2} \hspace{.05cm} m_{\alpha} \hspace{.05cm} V_{\alpha}^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V_{\alpha} = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha}}{m_{\alpha}}}$$

Podstawiając powyższy wzór do równania $|q_\alpha| B = \dfrac{m_\alpha V_\alpha}{r}$, otrzymamy:

$$|q_\alpha| \hspace{.05cm} B = \frac{m_\alpha}{r} \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha}}{m_{\alpha}}} = \frac{1}{r} \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha} \hspace{.05cm} m_{\alpha}^2}{m_{\alpha}}} = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha} \hspace{.05cm} m_{\alpha}}}{r}$$

skąd po przekształceniu względem r, dostaniemy:

$$r = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha} \hspace{.05cm} m_{\alpha}}}{|q_\alpha| \hspace{.05cm} B} = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha} \hspace{.05cm} m_{\alpha}}}{2 \hspace{.1cm} e \hspace{.05cm} B}$$

Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy wartość promienia r, równą:

$$r = \frac{\sqrt{2 \cdot 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-12} \hspace{.05cm} \textrm{J} \cdot 6,\hspace{-.1cm}6445 \cdot 10^{-27} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}}{2 \cdot 1,\hspace{-.1cm}6021 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{C} \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{T}} = 4,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$