Siła Lorentza – zadanie nr 4

Oblicz stosunek promieni, jakie zatoczą cząstka α i proton, jeżeli ich energie kinetyczne są równe, a cząstki wpadają w to samo pole magnetyczne prostopadle do kierunku wektora indukcji magnetycznej $\vec{B}$.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Aby obliczyć stosunek promieni okręgów, po których poruszają się proton oraz cząstka α, skorzystamy ze wzoru na promień r  okręgu wyprowadzonego w zadaniu Siła Lorentza – zadanie nr 3:

$$r = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_k \hspace{.05cm} m}}{|q| \hspace{.05cm} B}$$

gdzie:
E_k, m  i q  to odpowiednio energia kinetyczna, masa oraz ładunek cząstki,
B  – indukcja pola magnetycznego.

Wprowadzając do powyższego równania indeksy dolne p  oraz α, odnoszące się odpowiednio do protonu oraz cząstki α, dostaniemy:

$$r_p = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{kp} \hspace{.05cm} m_p}}{|q_p| \hspace{.05cm} B}$$

oraz

$$r_{\alpha} = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha} \hspace{.05cm} m_{\alpha}}}{|q_{\alpha}| \hspace{.05cm} B}$$

Ładunek q_p  = +e, a ładunek q_α  = +2e. Wiemy również, że energia kinetyczna protonu równa jest energii kinetycznej cząstki α (E_kp  = E_kα ). Jeżeli dodatkowo założymy, że masa cząstki α (składającej się z dwóch neutronów oraz dwóch protonów) jest równa czterokrotności masy pojedynczego protonu (co jest dobrym przybliżeniem) m_α  = 4 m_p , dostaniemy szukaną wartość stosunku r_α /r_p  równą:

$$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha} \hspace{.05cm} m_{\alpha}} \cdot e \hspace{.05cm} B}{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k \alpha} \hspace{.05cm} m_p} \cdot 2 \hspace{.05cm} e \hspace{.05cm} B} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{\mathstrut m_{\alpha}}{m_p}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm }m_p}{m_p}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$

Wynik, który otrzymaliśmy oznacza, że proton oraz cząstka α poruszają się po okręgach o jednakowych promieniach.