Siła Lorentza – zadanie nr 5

Deuteron i proton, po przejściu w próżni różnicy potencjałów U  = 500 V, wpadają w jednorodne pola magnetyczne prostopadle do kierunku wyznaczonego przez wektor indukcji magnetycznej. Jaki musiałby być stosunek wartości indukcji magnetycznych tych pól (B_p /B_d ), aby cząstki te zatoczyły okręgi o jednakowych promieniach?

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

W zadaniu tym, podobnie jak w zadaniu Siła Lorentza – zadanie nr 3, skorzystamy z wyrażenia pozwalającego obliczyć promień r  okręgu, po którym porusza się naładowana elektrycznie cząstka umieszczona w zewnętrznym polu magnetycznym:

$$r = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_k \hspace{.05cm} m}}{|q| \hspace{.05cm} B}$$

Równanie to zapisane dla protonu oraz deuteronu (deuteron to jądro deuteru – izotopu wodoru – składające się z jednego protonu i jednego neutronu), z uwzględnieniem ich oznaczeń (proton – p, deuteron – d ) oraz ładunków elektrycznych równych +e, przyjmie poniższą postać:

– dla protonu:

$$r_p = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{kp} \hspace{.05cm} m_p}}{e \hspace{.05cm} B_p}$$

– dla deuteronu:

$$r_d = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{kd} \hspace{.05cm} m_d}}{e \hspace{.05cm} B_d}$$

Wielkością szukaną jest stosunek wartości indukcji magnetycznych pól – B_p /B_d  – dla którego cząstki te będą poruszały się po okręgach o jednakowych promieniach. Z warunku r_p  = r_d , dostaniemy:

$$\frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{kp} \hspace{.05cm} m_p}}{e \hspace{.05cm} B_p} = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{kd} \hspace{.05cm} m_d}}{e \hspace{.05cm} B_d}$$

Po pomnożeniu obydwu stron powyższego równania przez ładunek e  oraz po jego przekształceniu do postaci B_p /B_d , otrzymamy:

$$\frac{B_p}{B_d} = \frac{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{kp} \hspace{.05cm} m_p}}{\sqrt{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{kd} \hspace{.05cm} m_d}} = \frac{\sqrt{\mathstrut E_{kp} \hspace{.05cm} m_p}}{\sqrt{\mathstrut E_{kd} \hspace{.05cm} m_d}}$$

Masa oraz energia kinetyczna protonu i deuteronu nie jest podana w treści zadania. Jak napisaliśmy wyżej, deuteron to jądro deuteru składające się z jednego protonu oraz jednego neutronu. Ponieważ masa protonu m_p  tylko nieznacznie różni się od masy neutronu m_n , możemy założyć, że m_p  = m_n  i w związku z tym wyrazić masę deuteronu jako m_d  = 2 m_p .

Aby obliczyć energię kinetyczną protonu oraz deuteronu skorzystamy z faktu, że cząstki te przed wpadnięciem w pole magnetyczne, przyspieszane były różnicą potencjałów U  = 500 V. Zależność występującą pomiędzy tymi wielkościami opisuje poniższy wzór:

$$E_k = |q| \hspace{.05cm} U$$

Zauważ, że wartość energii kinetycznej E_k  zależy tylko od napięcia U  oraz ładunku q  przyspieszanej cząstki, zatem proton oraz deuteron (posiadające jednakowy ładunek elektryczny) przed wpadnięciem w pole magnetyczne musiały mieć jednakową energię kinetyczną wynoszącą:

$$E_{kp} = E_{kd} = e \hspace{.05cm} U$$

Po zastosowaniu wspomnianych wyżej relacji wiążących masy oraz energie kinetyczne protonu i deuteronu, dostaniemy szukaną wartość stosunku B_p /B_d  równą:

$$\frac{B_p}{B_d} = \frac{\sqrt{\mathstrut E_{kp} \hspace{.05cm} m_p}}{\sqrt{\mathstrut E_{kd} \hspace{.05cm} m_d}} = \frac{\sqrt{e \hspace{.1cm} U \hspace{.05cm} m_p}}{\sqrt{e \hspace{.1cm} U \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} m_p}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$