Ruch jednostajnie przyspieszony – zadanie nr 3

Oblicz po jakim czasie ciało poruszające się z prędkością początkową V₀  = 30 m/s osiągnie prędkość V  = 10 m/s. Jaką w tym czasie przebędzie drogę oraz z jaką średnią prędkością będzie się poruszać? Wartość opóźnienia wynosi a  = 2 m/s².

Aby obliczyć drogę przebytą przez ciało skorzystamy ze wzorów wprowadzonych w zadaniu Ruch jednostajnie przyspieszony – zadanie nr 2:

– wzór na prędkość:

$$V = V_0 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t$$

– wzór na drogę:

$$s = V_0 \hspace{.1cm} t \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.03cm} a \hspace{.05cm} t^2$$

(założyliśmy, że s₀  = 0 m)

Wielkościami, które znamy są prędkość początkowa V₀, prędkość końcowa V  oraz opóźnienie a  ciała. Czas t  jest wielkością nieznaną. Aby go wyznaczyć przekształcimy wzór na prędkość względem czasu t :

$$V = V_0 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} a \hspace{.05cm} t = V_0 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} t = \frac{V_0 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V}{a}$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$t = \frac{30 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 10 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{2 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} = 10 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$

Znając wartość t  możemy przystąpić do obliczenia drogi s :

$$s = 30 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{s} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2} \cdot 2 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \cdot \left( 10 \hspace{.05cm} \textrm{s} \right)^2 = 300 \hspace{.05cm} \textrm{m} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 100 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 200 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Prędkość średnią V_sr  obliczymy dzieląc drogę s, jaką przebyło ciało podczas czasu t :

$$V_{sr} = \frac{s}{t} = \frac{200 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{10 \hspace{.05cm} \textrm{s}} = 20 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Opcjonalne rozwiązanie zadania

Korzystając z wcześniej wyprowadzonego wyrażenia na czas t, podstawmy je do wzoru na drogę:

$$s = V_0 \cdot \frac{V_0 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V}{a} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2} \cdot \left( \frac{V_0 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V}{a} \right)^2 = \frac{V_0^2}{a} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V_0 \hspace{.05cm} V}{a} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \cdot \frac{V_0^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} V_0 \hspace{.05cm} V + V^2}{a^2}$$

Po skróceniu oraz pogrupowaniu wyrazów, otrzymamy:

$$s = \frac{V_0^2}{2 \hspace{.05cm} a} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V^2}{2 \hspace{.05cm} a} = \frac{V_0^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V^2}{2 \hspace{.05cm} a} = \frac{\left( 30 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( 10 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2}{2 \cdot 2 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} = \frac{800 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}^2}{\textrm{s}^2}}{4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} = 200 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Aby obliczyć prędkość średnią skorzystamy z faktu, że prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym (poruszającym się z dodatnim lub ujemnym przyspieszeniem) zmienia się w sposób liniowy (zobacz: ruch jednostajnie przyspieszony), w związku z czym:

$$V_{sr} = \frac{V_0 + V}{2} = \frac{30 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} + 10 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{2} = 20 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$