Praca – zadanie nr 3

Ciało o masie 5 kg wskutek działania siły o wartości 10 N uzyskało w czasie t  prędkość V  = 10 m/s. Oblicz pracę wykonaną przez siłę działającą na to ciało. Siły tarcia pomijamy.

Pracę W  wykonaną przez siłę działającą na ciało obliczymy korzystając z poniższego wzoru:

$$W = F \hspace{.05cm} s$$

Wartość siły jest znana. Wielkością szukaną jest przemieszczenie s  ciała. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że jeżeli na ciało o masie m  działa stała siła o niezerowej wartości, to ciało to porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym ze stałym przyspieszeniem. Przekształcając wzór:

$$\vec{F}_{wyp} = \vec{F} = m \hspace{.05cm} \vec{a}$$

względem przyspieszenia $\vec{a}$, otrzymamy:

$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$$

(siły tarcia pomijamy, dlatego jedyną (i tym samym wypadkową) siłą działającą na ciało w kierunku jego ruchu jest siła $\vec{F}$  o wartości 10 N opisana w treści zadania)

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy wartość przyspieszenia, równą:

$$a = \frac{10 \hspace{.05cm} \textrm{N}}{5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = 2 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$$

Znając wartość przyspieszenia możemy obliczyć wartość przemieszczenia s. W tym celu skorzystamy ze wzorów na prędkość i drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$$s = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t^2 + V_0 \hspace{.05cm} t + s_0$$

$$V = a \hspace{.05cm} t + V_0$$

Przy założeniu, że V₀  = 0 m/s oraz s₀  = 0 m, mamy:

$$s = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t^2$$

$$V = a \hspace{.05cm} t$$

Wartość t  nie jest znana. Możemy ją jednak wyeliminować przekształcając wzór na prędkość względem czasu t  i uzyskaną w ten sposób zależność wstawić do wzoru na drogę s  ciała:

$$s = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \hspace{.05cm} t^2 = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \cdot \frac{V^2}{a^2} = \frac{V^2}{2 \hspace{.05cm} a}$$

W ten sposób uzyskaliśmy wyrażenie na przemieszczenie s, którego wartość wynosi:

$$s = \frac{\left( 10 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2}{2 \cdot 2 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} = 25 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Znając wartość s  możemy przystąpić do obliczenia pracy W :

$$W = F \hspace{.05cm} s = 10 \hspace{.05cm} \textrm{N} \cdot 25 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 250 \hspace{.05cm} \textrm{J}$$