Pęd w ujęciu mechaniki relatywistycznej – zadanie nr 3

Pęd relatywistycznego elektronu zmierzony przez obserwatora wyniósł 3 ⋅ 10^-21 kg ⋅ m/s. Oblicz z jaką prędkością poruszał się elektron jeżeli jego masa jest równa 9,1 ⋅ 10^-31 kg.

Zgodnie z treścią zadania, wielkością szukaną jest prędkość relatywistycznego elektronu. Oznacza to, że aby ją wyznaczyć będziemy musieli skorzystać ze wzorów fizyki relatywistycznej. Wielkościami, które znamy są pęd oraz masa elektronu, w związku z czym najłatwiejszym sposobem obliczenia prędkości będzie skorzystanie z wyrażenia na pęd, które w ujęciu fizyki relatywistycznej przedstawia się następująco (zobacz: Pęd w ujęciu mechaniki relatywistycznej):

$$p = \frac{m \hspace{.05cm} V}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}}$$

Następnie przekształćmy powyższe równanie względem V. Po spotęgowaniu oraz zamianie stronami wyrazów stojących po obydwu stronach znaku równości otrzymamy wyrażenie na prędkość, równe:

$$V = \frac{p \hspace{.05cm} c}{\sqrt{p^2 + \left( m \hspace{.05cm} c \right)^2}}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń uzyskamy wartość prędkości, z jaką poruszał się elektron, równą:

$$V = \frac{3 \cdot 10^{-21} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 2,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{\sqrt{\left( 3 \cdot 10^{-21} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2 + \left( 9,\hspace{-.1cm}1 \cdot 10^{-31} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 2,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2}} = 2,\hspace{-.1cm}97 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$