Pęd w ujęciu mechaniki relatywistycznej – zadanie nr 2

Ω^– (jedna z cząstek elementarnych), której masa wynosi 2,98 ∙ 10^-27 kg porusza się z prędkością 0,875 c. Oblicz wartość pędu Ω^–. Porównaj uzyskany wynik z przewidywaniami nierelatywistycznymi.

Prędkość z jaką porusza się Ω^– jest bliska prędkości światła w próżni c, wobec czego poprawną wartość pędu uzyskamy stosując wyrażenie relatywistyczne, które, jak pewnie pamiętasz, jest słuszne dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości i wynosi (zobacz: Pęd w ujęciu mechaniki relatywistycznej):

$$p = \frac{m \hspace{.05cm} V}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}}$$

(W przypadku prędkości dużo mniejszych od c, możemy korzystać zarówno z wyrażenia klasycznego (nierelatywistycznego) oraz relatywistycznego, uzyskując jednakowe wyniki.)

Masa i prędkość Ω^– są podane w treści zadania. Po podstawieniu ich do powyższego wzoru oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$p = \frac{2,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^{-27} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 0,\hspace{-.1cm}875 \cdot 2,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{0,875 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} = 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-18} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Sprawdźmy teraz, jaki wynik uzyskamy w ramach fizyki klasycznej korzystając z dobrze znanego wzoru na pęd:

$$p = 2,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^{-27} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 0,\hspace{-.1cm}875 \cdot 2,\hspace{-.1cm}98 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} = 7,\hspace{-.1cm}8 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Wynik ten jest ponad dwukrotnie mniejszy od wartości, którą otrzymaliśmy stosując wyrażenie relatywistyczne. W przypadku, gdy prędkość cząstki będzie coraz bliższa prędkości c, różnica pomiędzy uzyskiwanymi wynikami będzie coraz większa.