Wahadło matematyczne i fizyczne – zadanie nr 3

Wyznacz częstotliwość drgań wahadła matematycznego o długości 1,5 m znajdującego się:
a) w windzie poruszającej się ze stałą prędkością,
b) windzie poruszającej się do góry ze stałym przyspieszeniem a  = 2 m/s²,
c) windzie jadącej do dołu ze stałym przyspieszeniem a  = 5 m/s².

Zanim rozważymy każdy przypadek z osobna, zapiszmy na początek wyrażenie pozwalające obliczyć okres drgań wahadła matematycznego:

$$T = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Częstotliwość drgań f  jest równa odwrotności okresu T :

$$f = \frac{1}{T}$$

Po podstawieniu do powyższej zależności wyrażenia opisującego okres drgań wahadła matematycznego dostaniemy:

$$f = \frac{1}{2 \hspace{.05cm} \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$

W ogólnym przypadku, gdy wypadkowe przyspieszenie a_wyp  nie jest równe przyspieszeniu ziemskiemu g , słuszne jest poniższe równanie:

$$f = \frac{1}{2 \hspace{.05cm} \pi} \sqrt{\frac{a_{wyp}}{l}}$$

Zgodnie z powyższym wzorem obliczenie częstotliwości f  drgań wahadła matematycznego wymaga znajomości przyspieszenia a_wyp  oraz długości l  wahadła. W naszym przypadku długość wahadła podana jest w treści zadania, zatem jedyną niewiadomą w każdym z trzech przypadków (a, b oraz c) jest wartość przyspieszenia a_wyp , którą będziemy musieli znaleźć.

Przypadek a)

W pierwszym przypadku wahadło znajduje się w windzie poruszającej się ze stałą prędkością V, co oznacza, że siła ciężkości $\vec{F}_g$ działająca na windę (i tym samym na wahadło) jest równoważona przez siłę $\vec{F}$ skierowaną przeciwnie do siły $\vec{F}_g$ (wypadkowa sił działających na wahadło jest równa zero – zobacz: pierwsza zasada dynamiki Newtona). Dla tego przypadku możemy więc zapisać:

$$\vec{F}_{wyp} = \vec{F} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \vec{F}_g = 0$$

Powyższy warunek spełniony jest tylko wtedy, gdy siły $\vec{F}$  i  $\vec{F}_g$ przyjmują jednakowe wartości, dlatego:

$$F = F_g = m \hspace{.05cm} g$$

Widzimy więc, że w tym przypadku wartość a_wyp  jest równa przyspieszeniu ziemskiemu g  (a_wyp  = g ), w związku z czym:

$$f_a = \frac{1}{2 \hspace{.05cm} \pi} \sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{1}{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14} \cdot \sqrt{\frac{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}}{1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 0,\hspace{-.1cm}41 \hspace{.05cm} \textrm{Hz}$$

Przypadek b)

W sytuacji b) wahadło znajduje się w windzie poruszającej się do góry ze stałym przyspieszeniem a  = 2 m/s², zatem siła wypadkowa działająca na wahadło przyjmuje wartość różną od zera. Ponieważ winda porusza się ku górze, tak więc siła $\vec{F}$ powodująca ruch windy (oraz wahadła) musi mieć większą wartość, niż przeciwnie skierowana siła ciężkości $\vec{F}_g$ . Zapisując drugą zasadę dynamiki Newtona dla tego przypadku dostaniemy:

$$\vec{F}_{wyp} = \vec{F} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \vec{F}_g = m \hspace{.05cm} \vec{a}$$

Zgodnie z powyższym wzorem wartość siły $\vec{F}$ wynosi:

$$F = F_g + m \hspace{.05cm} a = m \hspace{.05cm} g + m \hspace{.05cm} a = m \left(a + g \right)$$

Przyspieszenie wypadkowe układu przyjmuje wartość równą a_wyp  = a + g , zatem częstotliwość f  drgań wahadła wynosi w tym przypadku:

$$f_b = \frac{1}{2 \hspace{.05cm} \pi} \sqrt{\frac{a + g}{l}} = \frac{1}{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14} \cdot \sqrt{\frac{2 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} + 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}}{1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 0,\hspace{-.1cm}45 \hspace{.05cm} \textrm{Hz}$$

Przypadek c)

Z bardzo podobną sytuacją mamy do czynienia w punkcie c), w którym wahadło również znajduje się wewnątrz windy, jednak ruch tego układu odbywa się ku dołowi ze stałym przyspieszeniem a  = 5 m/s². Oznacza to, że siła $\vec{F}$ działająca na windę przyjmuje mniejszą wartość, niż siła ciężkości $\vec{F}_g$ . Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy zapisać, że:

$$\vec{F}_{wyp} = \vec{F}_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \vec{F} = m \hspace{.05cm} \vec{a}$$

W tym przypadku wartość siły $\vec{F}$ wynosi:

$$F = F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} a = m \hspace{.05cm} g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{.05cm} a = m \left(g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a \right)$$

Przyspieszenie wypadkowe układu jest równe a_wyp  = g – a , w związku z czym:

$$f_c = \frac{1}{2 \hspace{.05cm} \pi} \sqrt{\frac{g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a}{l}} = \frac{1}{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14} \cdot \sqrt{\frac{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 5 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}}{1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 0,\hspace{-.1cm}29 \hspace{.05cm} \textrm{Hz}$$