Wahadło matematyczne i fizyczne – zadanie nr 4

Oblicz z jakim przyspieszeniem winda opadała w dół, jeżeli okres drgań wahadła matematycznego zwiększył się o 1/2 w porównaniu z okresem wahadła mierzonego w nieruchomej windzie.

Jak pokazano w zadaniu Wahadło matematyczne i fizyczne – zadanie nr 3, częstotliwość (a więc również i okres) drgań wahadła matematycznego zmienia się wraz z wartością przyspieszenia i kierunkiem ruchu windy, wewnątrz której znajduje się takie wahadło. Gdy wahadło znajduje się w nieruchomej windzie, okres T₀  jego drgań dany jest poniższym wyrażeniem:

$$T_0 = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Gdy winda opada w dół, okres T₁  drgań wahadła wynosi:

$$T_1 = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{g \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} a}}$$

Z treści zadania wynika, że okres T₁  jest większy o połowę w stosunku do wartości T₀ , w związku z czym możemy zapisać, że:

$$T_1 = T_0 + \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} T_0 = \tfrac{3}{2} \hspace{.05cm} T_0$$

Wstawiając powyższą zależność do wzoru na okres T₁  drgań wahadła, dostaniemy:

$$\tfrac{3}{2} \hspace{.05cm} T_0 = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a}}$$

Wyrażenie na okres T₀  jest znane (pierwszy wzór w tym zadaniu), dlatego:

$$\tfrac{3}{2} \cdot 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a}}$$

Skracając stronami powyższe wyrażenie oraz następnie podnosząc je do kwadratu i przekształcając względem przyspieszenia a , otrzymamy:

$$\tfrac{9}{4} \cdot \frac{l}{g} = \frac{l}{g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \tfrac{4}{9} \hspace{.05cm} g = g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} a = \tfrac{5}{9} \hspace{.05cm} g$$

Po wstawieniu w miejsce g  wartości 9,81 m/s², dostaniemy szukaną wartość przyspieszenia windy równą:

$$a = \tfrac{5}{9} \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} = 5,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$$