Oscylator harmoniczny tłumiony – zadanie nr 1

Układ klocek – sprężyna wykonuje drgania harmoniczne tłumione. Oblicz stosunek amplitudy drgań po wykonaniu 30 pełnych drgań do początkowej amplitudy. Masa klocka m  = 0,5 kg, stała sprężystości k  = 400 N/m, stała tłumienia b  = 0,15 kg/s.

Amplituda drgań oscylatora harmonicznego tłumionego, wyrażająca się poniższym wyrażeniem, maleje stopniowo wraz z upływem czasu t :

$$A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} t}{2 \hspace{.05cm} m}}$$

W sytuacji początkowej, tzn. gdy t  = 0 s, amplituda drgań A₀ układu klocek – sprężyna wynosi:

$$A_0 = A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 0 \hspace{.05cm} \textrm{s}}{2 \hspace{.05cm} m}} = A \hspace{.05cm} e^0 = A$$

Aby obliczyć amplitudę drgań tłumionych A₁ po wykonaniu przez układ 30 pełnych drgań, skorzystamy z faktu, że jedno pełne drganie oscylatora odbywa się w czasie t  odpowiadającemu okresowi T  drgań. W związku z powyższym, 30 pełnych drgań oscylatora zostanie wykonane w czasie t  = 30 T. Po wstawieniu tego czasu do wyrażenia opisującego amplitudę drgań tłumionych, dostaniemy:

$$A_1 = A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 30 \hspace{.05cm} T}{2 \hspace{.05cm} m}} = A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{15 \hspace{.05cm} b \hspace{.05cm} T}{m}}$$

Wartość T  nie jest wprawdzie znana, jednak znając m, k  oraz b  możemy ją wyznaczyć korzystając z poniższej zależności opisującej okres drgań oscylatora harmonicznego tłumionego:

$$T = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{\sqrt{\dfrac{k}{m} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \dfrac{b^2}{4 \hspace{.05cm} m^2}}}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych i wykonaniu obliczeń otrzymamy wartość T, równą:

$$T = \frac{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14}{\sqrt{\dfrac{400 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}}}{0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \dfrac{\left( 0,\hspace{-.1cm}15 \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s}} \right)^2}{4 \cdot \left( 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \right)^2}}} = 0,\hspace{-.1cm}22 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$

Znając okres drgań oscylatora możemy przystąpić do obliczenia amplitudy drgań po wykonaniu przez układ 30 pełnych drgań:

$$A_1 = A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{15 \hspace{.05cm} b \hspace{.05cm} T}{m}} = A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{15 \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 0,15 \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s}} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 0,22 \hspace{.05cm} \textrm{s}}{0,5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 0,\hspace{-.1cm}37 \hspace{.05cm} A$$

Wiedząc ile wynosi amplituda drgań układu klocek – sprężyna w chwili t  = 0 s (A₀) oraz po upływie czasu t  = 30 T  (A₁) możemy obliczyć wartość stosunku A₁ /A₀:

$$\frac{A_1}{A_0} = \frac{0,\hspace{-.1cm}37 \hspace{.05cm} A}{A} = 0,\hspace{-.1cm}37$$

Powyższy wynik oznacza, że amplituda drgań tłumionych oscylatora po wykonaniu 30 pełnych drgań zmalała prawie trzykrotnie w stosunku do początkowej wartości amplitudy.