Oscylator harmoniczny tłumiony – zadanie nr 2

Oscylator harmoniczny składający się z klocka o masie m  = 10 kg oraz sprężyny o stałej sprężystości k  = 50 N/m został wprawiony w drgania. Wiedząc, że stała tłumienia b  siły oporu działającej na ten oscylator wynosi 0,30 kg/s, wyznacz czas, po którym amplituda drgań zmaleje o połowę oraz liczbę pełnych drgań, jakie układ klocek – sprężyna wykona podczas tego czasu.

Zadanie to jest podobne do zadania Oscylator harmoniczny tłumiony – zadanie nr 1. Tym razem mamy jednak obliczyć czas t, po upływie którego amplituda drgań układu klocek – sprężyna zmaleje o połowę oraz liczbę pełnych drgań wykonanych podczas tego czasu. Na początek zapiszmy ogólne wyrażenie opisujące zależność przemieszczenia x  klocka, wykonującego drgania harmoniczne tłumione, w funkcji czasu t :

$$x (t) = A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} t}{2 \hspace{.05cm} m}} \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \omega’ \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Amplitudę drgań w powyższym wyrażeniu reprezentuje wielkość:

$$A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} t}{2 \hspace{.05cm} m}}$$

Jak pokazano w zadaniu Oscylator harmoniczny tłumiony – zadanie nr 1 amplituda drgań A₀ w chwili t  = 0 s (tzw. początkowa amplituda drgań) jest równa A. Wielkością szukaną jest czas t, po upływie którego amplituda początkowych drgań układu maleje o połowę, zatem:

$$A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} t}{2 \hspace{.05cm} m}} = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} A$$

Po skróceniu oraz zlogarytmowaniu obydwu stron powyższego równania, dostaniemy:

$$\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} t}{2 \hspace{.05cm} m} = \textrm{ln} \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2}$$

skąd po przekształceniu względem t, otrzymamy:

$$t = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{2 \hspace{.05cm} m}{b} \cdot \textrm{ln} \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2} = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{2 \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{0,30 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s}}} \cdot \left( \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 0,\hspace{-.1cm}69 \right) = 46,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$

Aby obliczyć liczbę pełnych drgań, jakie wykona układ klocek – sprężyna podczas czasu t  = 46,2 s, musimy znać okres T  drgań tego układu. Wartość T  obliczymy korzystając z poniższego wyrażenia:

$$T = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{\sqrt{\dfrac{k}{m} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \dfrac{b^2}{4 \hspace{.05cm} m^2}}}$$

Wartość masy m, stałej sprężystości k  oraz stałej tłumienia b  podane są w treści zadania, zatem po podstawieniu ich do powyższego wzoru oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$T = \frac{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14}{\sqrt{\dfrac{50 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}}}{10 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \dfrac{\left( 0,\hspace{-.1cm}30 \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s}} \right)^2}{4 \cdot \left( 10 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \right)^2}}} = 2,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$

Liczba N  pełnych drgań układu klocek – sprężyna wykonanych podczas czasu t  jest wobec tego równa:

$$N = \frac{t}{T} = \frac{46,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{s}}{2,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{s}} \approx 16 $$

(Wprawdzie dokładny wynik dzielenia wynosi 16,5, jednak interesuje nas liczba pełnych drgań układu, a ta wynosi właśnie 16).