Oscylator harmoniczny tłumiony

Oscylator harmoniczny, którego drgania, a dokładniej amplituda drgań, ulegają osłabieniu na skutek działania sił zewnętrznych (np. sił oporu) nazywamy oscylatorem harmonicznym tłumionym. Drgania wykonywane przez taki oscylator nazywane są dlatego drganiami tłumionymi. Prostym przykładem takiego oscylatora jest układ przedstawiony na poniższym rysunku, składający się ze sprężyny o stałej sprężystości k  oraz ciężarka o masie m  zanurzonego w cieczy.

Podczas każdego wychylenia ciężarka z położenia równowagi, ciecz wywiera na ciężarek (i w konsekwencji na cały układ) siłę oporu F_T, której wartość, przy założeniu, że siła F_T  jest proporcjonalna do prędkości V  ciężarka, wynosi:

$$F_T = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} b \hspace{.05cm} V$$

gdzie b  to stała tłumienia zależna od właściwości cieczy i ciężarka, której jednostką jest kg/s.

Zauważ, że im większa wartość b, tym większa wartość siły oporu działającej na ciężarek. Znak minus w powyższym wzorze oznacza, że siła F_T  przeciwstawia się ruchowi ciężarka.

Równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego

Oprócz siły F_T  na ciężarek działa również siła sprężystości F  = – kx, związana ze sprężyną, dążąca do przywrócenia początkowej długości (nierozciągniętej) sprężyny. Jeżeli zaniedbać siłę ciężkości działającą na ciężarek, wówczas równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego przedstawia poniższe równanie różniczkowe drugiego rzędu:

$$m \hspace{.05cm} \frac{d^2 x(t)}{d t^2} + b \hspace{.05cm} \frac{d x(t)}{dt} + k \hspace{.05cm} x(t) = 0$$

Zależność tą możemy otrzymać zapisując dla układu ciężarek – sprężyna drugą zasadę dynamiki Newtona:

$$\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} b \hspace{.05cm} V \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x = m \hspace{.05cm} a$$

podstawiając w miejsce V  oraz a  odpowiednio wielkość $\dfrac{d x(t)}{dt}$ oraz $\dfrac{d^2 x(t)}{d t^2}$.

Częstość kołowa i okres drgań oscylatora harmonicznego tłumionego

Rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego przyjmuje następującą postać:

$$x (t) = A \hspace{.05cm} e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} t}{2 \hspace{.05cm} m}} \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \omega’ \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

gdzie wielkość Ae^–bt /2m  reprezentuje amplitudę drgań tłumionych, z kolei ω’  – częstość kołową drgań tłumionych równą:

$$\omega’ = \sqrt{\frac{k}{m} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{b^2}{4 \hspace{.05cm} m^2}}$$

Okres T  drgań tłumionych w związku z powyższym wynosi:

$$T = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{\omega’} = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{\sqrt{\dfrac{k}{m} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \dfrac{b^2}{4 \hspace{.05cm} m^2}}}$$

Zwróć uwagę, że gdy b  = 0 wyrażenia opisujące przemieszczenie x (t )  ciężarka, częstość kołową ω’  oraz okres T  drgań tłumionych sprowadzają się do wyrażeń na x (t ), ω  oraz T  klasycznego (nietłumionego) oscylatora harmonicznego.

Energia mechaniczna oscylatora harmonicznego tłumionego

Jeżeli w wyrażeniu na całkowitą energię mechaniczną oscylatora klasycznego zastąpimy amplitudę A  drgań wyrażeniem opisującym amplitudę drgań tłumionych, wówczas energię mechaniczną oscylatora harmonicznego tłumionego będziemy mogli obliczyć, z dobrym przybliżeniem, korzystając z poniższego wyrażenia:

$$E (t) = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 e^{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{b \hspace{.05cm} t}{2 \hspace{.05cm} m}}$$

Zależność ta jest słuszna dla małych wartości stałej tłumienia b. Zauważ, że wartość energii mechanicznej, podobnie jak i amplituda drgań, maleje wykładniczo z czasem t. Energia mechaniczna tracona przez układ ciężarek – sprężyna ulega zamianie na energię termiczną (cieplną) ciężarka oraz cieczy.