Siła wyporu. Prawo Archimedesa – zadanie nr 6

Oblicz gęstość ciała o masie 5 kg, wiedząc, że jego ciężar zmierzony w wodzie jest równy 40 N. Gęstość wody jest znana i wynosi 1000 kg/m³.

Aby obliczyć gęstość ρ  dowolnego ciała musimy, zgodnie z poniższym wzorem, znać jego masę m  oraz objętość V :

$$\rho = \frac{m}{V}$$

Masa ciała jest znana i wynosi 5 kg. Objętość musimy wyznaczyć. Wiemy, że ciężar ciała zmierzony w wodzie wynosi 40 N. Ciężar ten nie jest jednak rzeczywistym ciężarem ciała, tylko jego ciężarem pozornym, ponieważ na ciało to oprócz siły ciężkości, skierowanej w dół, działa siła wyporu ze strony wody, skierowana przeciwnie do siły ciężkości. Jeżeli ciężar pozorny ciała równy 40 N oznaczymy jako F_g,poz, siłę ciężkości jako F_g, z kolei siłę wyporu poprzez F_w, otrzymamy następujące równanie wiążące wymienione siły:

$$F_{g,poz} = F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_w$$

Siłę ciężkości F_g  możemy, z definicji, wyrazić poprzez iloczyn masy m  oraz przyspieszenia ziemskiego g . Z kolei siłę wyporu możemy przedstawić jako iloczyn masy wody m_w  wypartej przez ciało oraz przyspieszenia g. Po podstawieniu tych wielkości do powyższego wzoru, otrzymamy:

$$F_{g,poz} = m \hspace{.05cm} g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_p \hspace{.05cm} g$$

Masa m_w  wypartej wody nie jest znana. Możemy ją jednak wyrazić poprzez iloczyn gęstości ρ_w  oraz objętości V_w  wody. Ponieważ objętość wypartej wody musi odpowiadać objętości ciała zanurzonego w wodzie (ciało całkowicie zanurzone w płynie wypełnia objętość zajmowaną początkowo przez płyn), zatem V_w  = V :

$$F_{g,poz} = m \hspace{.05cm} g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V \rho_w \hspace{.05cm} g$$

gdzie V  to objętość ciała.

Aby wyznaczyć objętość ciała wystarczy przekształcić powyższe wyrażenie względem V  oraz następnie podstawić do niego wartości liczbowe. Po wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$V = \frac{m \hspace{.05cm} g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_{g,poz}}{\rho_w \hspace{.05cm} g} = \frac{5 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 40 \hspace{.05cm} \textrm{N}}{1000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} = 9,\hspace{-.1cm}2 \cdot 10^{-4} \hspace{.05cm} \textrm{m}^3$$

Znając objętość V  ciała możemy obliczyć jego gęstość będącą rozwiązaniem tego zadania:

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{9,\hspace{-.1cm}2 \cdot 10^{-4} \hspace{.05cm} \textrm{m}^3} = 5435 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}$$