Siła wyporu. Prawo Archimedesa – zadanie nr 2

Kotwica wykonana z ołowiu o gęstości 11350 kg/m³ wydaje się w wodzie lżejsza o 500 N, niż w powietrzu.

a) Oblicz objętość V_k  tej kotwicy.
b) Ile wynosi jej ciężar w powietrzu?

Gęstość wody jest znana i wynosi 1000 kg/m³.

Na każde ciało zanurzone w płynie działa skierowana ku górze siła wyporu $\vec{F}_{w}$  oraz siła ciężkości $\vec{F}_g$, skierowana ku dołowi. Zgodnie z prawem Archimedesa wartość siły wyporu równa się ciężarowi płynu wypartego przez przedmiot:

$$F_w = m_p \hspace{.05cm} g$$

gdzie m_p  to masa wypartego płynu.

Konsekwencją działania siły wyporu jest to, że ciało zanurzone w płynie (np. w wodzie) wydaje nam się o wiele lżejsze, niż na lądzie. Ciężar takiego ciała nazywany jest ciężarem pozornym i zdefiniowany jest w następujący sposób:

$$F_{g,poz} = F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_w$$

gdzie F_g,poz  i F_g  to odpowiednio ciężar pozorny i rzeczywisty ciała.

Zgodnie z treścią zadania różnica F_g  – F_g,poz  dla ołowianej kotwicy zanurzonej w wodzie wynosi 500 N, w związku z czym:

$$F_w = F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_{g,poz} = 500 \hspace{.05cm} \textrm{N}$$

Porównując stronami obydwa wyrażenia na F_w, dostaniemy:

$$m_w \hspace{.05cm} g = F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_{g,poz}$$

gdzie m_w  to masa wody wypartej przez kotwicę.

Masa wody m_w  nie jest podana w treści zadania. Korzystając z definicji gęstości płynów możemy ją jednak wyrazić jako:

$$m_w = V_w \hspace{.05cm} \rho_w$$

Ponieważ objętość V_w  wody odpowiada objętości V_k  kotwicy (kotwica jest całkowicie zanurzona w wodzie), zatem:

$$V_k \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.05cm} g = F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_{g,poz}$$

Po przekształceniu powyższego wyrażenia względem V_k , podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$V_k = \frac{F_g \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} F_{g,poz}}{\rho_w \hspace{.05cm}g} = \frac{500 \hspace{.05cm} \textrm{N}}{1000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} = 0,\hspace{-.1cm}05 \hspace{.05cm} \textrm{m}^3$$

Znając objętość V_k  kotwicy możemy obliczyć jej ciężar:

$$F_g = m_k \hspace{.05cm} g = V_k \hspace{.05cm} \rho_k \hspace{.05cm} g$$

Wartości wszystkich wielkości występujących w powyższym wzorze są znane, w związku z czym F_g  wynosi:

$$F_g = 0,\hspace{-.1cm}05 \hspace{.05cm} \textrm{m}^3 \cdot 11350 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3} \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} = 5675 \hspace{.05cm} \textrm{N}$$