Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym – zadanie nr 1

Pewna cząstka drga ruchem harmonicznym z okresem 10^-4 s i maksymalną prędkością 10² m/s. Oblicz częstość kołową oraz maksymalne przemieszczenie i przyspieszenie cząstki.

Zgodnie z teorią zależność prędkości V(t)  oraz przyspieszenia a(t)  ciała w ruchu harmonicznym opisują poniższe równania:

$$V (t) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \omega \hspace{.05cm} A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

$$a(t) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \omega^2 \hspace{.02cm} A \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

gdzie:
A  – amplituda drgań,
ω  – częstość kołowa drgań,
φ  – faza początkowa drgań.

Wielkości ωA  i ω²A  w powyższych wyrażeniach opisują odpowiednio amplitudę zmian prędkości oraz przyspieszenia ciała, a więc innymi słowy reprezentują one maksymalną prędkość oraz przyspieszenie ciała.

Wartość A  i ω  nie jest podana w treści zadania. Znamy jednak okres T  drgań oraz maksymalną prędkość V  ciała. Częstość kołowa drgań ω  związana jest z okresem T  następującą zależnością:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$$

skąd dostaniemy wartość ω, równą:

$$\omega = \frac{2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14}{10^{-4} \hspace{.05cm} \textrm{s}} = 6,\hspace{-.1cm}28 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{rad}}{\textrm{s}}$$

Znając wartość ω  możemy przystąpić do obliczenia maksymalnego przemieszczenia A  ciała. Ponieważ wartość maksymalnej prędkości V_max  ciała podano w treści zadania, zatem po przekształceniu poniższego wyrażenia

$$V_{max} = \omega \hspace{.05cm} A$$

względem A, podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$A = \frac{V_{max}}{\omega} = \frac{10^2 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{6,\hspace{-.1cm}28 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{rad}}{\textrm{s}}} = 0,\hspace{-.1cm}16 \cdot 10^{-2} \hspace{.05cm} \textrm{m} = 1,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{mm}$$

Podstawiając następnie wartość ω  i A  do wzoru  $a_{max} = \omega^2 A$  opisującego amplitudę zmian przyspieszenia ciała (i jak napisaliśmy wcześniej, reprezentującego maksymalną wartość przyspieszenia ciała), dostaniemy:

$$a_{max} = \omega^2 \hspace{.05cm} A = \left( 6,\hspace{-.1cm}28 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{rad}}{\textrm{s}} \right)^2 \cdot 0,\hspace{-.1cm}16 \cdot 10^{-2} \hspace{.05cm} \textrm{m} = 6,\hspace{-.1cm}3 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$$