Ruch harmoniczny – zadanie nr 5

Kulkę o masie m  = 100 g zawieszono na sprężynie o współczynniku sprężystości k  = 10 N/cm. Kulkę odciągnięto z położenia równowagi o wielkość x₀ = 5 cm i puszczono swobodnie. Oblicz okres T,  amplitudę A  oraz fazę początkową drgań φ  kulki. Opory ruchu pomijamy.

Załóżmy, że ruch wykonywany przez układ kulka – sprężyna jest ruchem harmonicznym, w którym wychylenie kulki w funkcji czasu zmienia się zgodnie z poniższym równaniem:

$$x (t) = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

gdzie:
x (t )  – przemieszczenie (wychylenie) kulki w funkcji czasu t,
A  – amplituda drgań,
ω  – częstość kołowa drgań,
φ  – początkowa faza drgań kulki.

W naszym przypadku amplituda drgań układu kulka – sprężyna odpowiada wychyleniu kulki x₀ = 5 cm, dlatego powyższe wyrażenie możemy zapisać jako:

$$x (t) = x_0 \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Aby znaleźć początkową fazę drgań φ  załóżmy, że w chwili rozpoczęcia ruchu tj. w chwili t  = 0 s, kulka znajdowała się w położeniu x₀ (x (t  = 0 s) = x₀). Dostaniemy wówczas:

$$x (t = 0 \hspace{.05cm} \textrm{s}) = x_0 = x (t) = x_0 \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \cdot 0 \hspace{.05cm} \textrm{s} + \varphi \right) \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} 1 = \textrm{cos} \hspace{.05cm} \varphi$$

Warunek cos φ  = 1 spełnia wartość φ  = 0^o (cos 0^o = 1), a więc właśnie tyle wynosi początkowa faza drgań układu kulka – sprężyna.

Okres T  drgań obliczymy korzystając z wyrażenia wiążącego masę m  kulki, stałą sprężystości k  sprężyny oraz częstość kołową drgań ω  układu kulka – sprężyna (zobacz: Siła w ruchu harmonicznym):

$$\omega^2 = \frac{k}{m} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \omega = \sqrt{\frac{\mathstrut k}{m}}$$

Ponieważ  $\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$, zatem:

$$\frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} = \sqrt{\frac{\mathstrut k}{m}} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} T = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{\mathstrut m}{k}}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych (pamiętając o wyrażeniu stałej k  w jednostce N/m: 10 N/cm = 1000 N/m), otrzymamy:

$$T = 2 \hspace{.05cm} \pi \cdot \sqrt{\frac{0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{1000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}}}} = 2 \hspace{.05cm} \pi \cdot \sqrt{\mathstrut 10^{-4} \hspace{.05cm} \textrm{s}^2} = \frac{\pi}{50} \hspace{.05cm} \textrm{s}$$