Ruch harmoniczny – zadanie nr 4

Oblicz okres drgań punktu materialnego, jeżeli dla czasu t  = 3 s jego wychylenie z położenia równowagi wynosi:

$$x = \frac{\sqrt{2}}{2} A$$

gdzie:
A  – amplituda drgań.

Faza początkowa drgań φ  = π/6.

Okres drgań T  to czas w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie ciała. Wielkość ta związana jest z częstością kołową drgań ω, czyli szybkością z jaką powtarzane są kolejne drgania, następującą relacją:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$$

Podstawiając powyższą zależność do wzoru na przemieszczenie x (t )  ciała w ruchu harmonicznym, dostaniemy:

$$x (t) = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right) = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Wiemy, że dla czasu t  = 3 s wychylenie (przemieszczenie) ciała wynosi $x = \frac{\sqrt{2}}{2} A$. Wiemy również, że początkowa faza drgań φ  = π/6, zatem:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \hspace{.05cm} A = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} \cdot 3 \hspace{.05cm} \textrm{s} + \frac{\pi}{6} \right)$$

Po skróceniu, otrzymamy:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \textrm{cos} \left( \frac{6 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \textrm{s}}{T} + \frac{\pi}{6} \right)$$

Lewa strona równania wynosi $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Aby prawa strona równania przyjmowała dokładnie taką samą wartość, faza ruchu (wielkość stojąca w okrągłym nawiasie) musi być równa π/4 (45^o), ponieważ $\textrm{cos} \hspace{.05cm} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

W związku z powyższym:

$$\frac{6 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \textrm{s}}{T} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}$$

Po wykonaniu obliczeń i przekształceń, otrzymamy:

$$\frac{6 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \textrm{s}}{T} = \frac{\pi}{4} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\pi}{6} = \frac{3 \hspace{.05cm} \pi}{12} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{12} = \frac{\pi}{12} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{T}{6 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \textrm{s}} = \frac{12}{\pi}$$

Szukana wartość T  wynosi, zatem:

$$T = 72 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$