Ruch harmoniczny – zadanie nr 4

Oblicz okres drgań punktu materialnego, jeżeli dla czasu t  = 3 s jego wychylenie z położenia równowagi wynosi:

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}A$$

gdzie:
A  – amplituda drgań.

Faza początkowa drgań φ  = π/6.

Okres drgań T  to czas w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie ciała. Wielkość ta związana jest z częstością kołową drgań ω, czyli szybkością z jaką powtarzane są kolejne drgania, następującą relacją:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$

Podstawiając powyższą zależność do wzoru na przemieszczenie x (t )  ciała w ruchu harmonicznym, dostaniemy:

$$x(t)=A\text{cos}(\omega t+\phi )=A\text{cos}(\frac{2\pi }{T}t+\phi )$$

Wiemy, że dla czasu t  = 3 s wychylenie (przemieszczenie) ciała wynosi $x=\frac{\sqrt{2}}{2}A$. Wiemy również, że początkowa faza drgań φ  = π/6, zatem:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}A=A\text{cos}(\frac{2\pi }{T}\cdot 3\text{s}+\frac{\pi }{6})$$

Po skróceniu, otrzymamy:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=\text{cos}(\frac{6\pi \text{s}}{T}+\frac{\pi }{6})$$

Lewa strona równania wynosi $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Aby prawa strona równania przyjmowała dokładnie taką samą wartość, faza ruchu (wielkość stojąca w okrągłym nawiasie) musi być równa π/4 (45^o), ponieważ $\text{cos}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

W związku z powyższym:

$$\frac{6\pi \text{s}}{T}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}$$

Po wykonaniu obliczeń i przekształceń, otrzymamy:

$$\frac{6\pi \text{s}}{T}=\frac{\pi }{4}–\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{12}–\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{12}⟶\frac{T}{6\pi \text{s}}=\frac{12}{\pi }$$

Szukana wartość T  wynosi, zatem:

$$T=72\text{s}$$