Ruch harmoniczny – zadanie nr 3

Drgania i fale - zadania
4 komentarze
Drukuj

Po upływie jakiego czasu od chwili początkowej cząstka wykonująca drgania harmoniczne przemieści się na odległość równą połowie amplitudy? Faza początkowa drgań φ  = 0, okres T  = 6 s.

rozwiązanie

Na początku zapiszmy ogólne wyrażenie na przemieszczenie x (t )  ciała w ruchu harmonicznym:

$$x (t) = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

gdzie:
A  – amplituda drgań,
ω  – częstość kołowa drgań,
φ  – początkowa faza drgań.

Zgodnie z treścią zadania mamy znaleźć takie t, po upływie którego przemieszczenie x (t )  ciała będzie równe połowie amplitudy:

$$x (t) = \frac{A}{2}$$

Podstawiając powyższą zależność do wzoru na x (t ) , dostaniemy:

$$\frac{A}{2} = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Zauważ, że amplituda A  drgań po obydwu stronach równania ulegnie skróceniu. Faza φ  jest znana i wynosi 0. Jedyną niewiadomą jest wartość częstości kołowej ω. Możemy ją jednak wyrazić jako:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$$

Wiemy, że okres T  = 6 s. Otrzymamy zatem:

$$\frac{1}{2} = \textrm{cos} \left( \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{6 \hspace{.05cm} \textrm{s}} \hspace{.05cm} t + 0 \right) = \textrm{cos} \left( \frac{\pi}{3} \hspace{.05cm} t \cdot \tfrac{1}{\textrm{s}} \right)$$

Wielkość π odpowiada 180o, zatem 1/3 π = 60o. Dostaniemy więc:

$$\frac{1}{2} = \textrm{cos} \left( 60 ^\textrm{o} \cdot t \cdot \tfrac{1}{\textrm{s}} \right)$$

Ponieważ cos 60o = 1/2, dlatego czas t  musi być równy jedną sekundę (tylko wtedy prawa strona powyższego równania będzie równa jego lewej stronie). Tak więc rozwiązaniem tego zadania jest wartość t, równa:

$$t = 1 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$

Dodaj komentarz

4 komentarze

  • Sebastian

    Dodano dnia 5 maja 2017 o godz. 16:43

    ale x(t)=Asin(wt + y)

    • Admin

      Dodano dnia 7 maja 2017 o godz. 11:35

      Przemieszczenie ciała może być równe $$\rm x(t) = A sin (\omega t+ \varphi)$$ lub $$\rm x(t) = A cos (\omega t+ \varphi)$$ – w obydwu przypadkach mamy funkcję trygonometryczną oddającą ruch okresowy ciała drgającego.

      • Emilia

        Dodano dnia 14 stycznia 2021 o godz. 11:57

        W takim razie kiedy używa się x(t)=Asin(wt + y), a kiedy x(t)=Acos(wt + y)?

        • Admin

          Dodano dnia 14 stycznia 2021 o godz. 19:57

          To zależy tylko i wyłącznie od nas. Kiedy chcemy używać sinusa używamy sinusa, a kiedy chcemy używać cosinusa to używamy cosinusa – mamy tu pełną dowolność.