Ruch harmoniczny – zadanie nr 3

Po upływie jakiego czasu od chwili początkowej cząstka wykonująca drgania harmoniczne przemieści się na odległość równą połowie amplitudy? Faza początkowa drgań φ  = 0, okres T  = 6 s.

Na początku zapiszmy ogólne wyrażenie na przemieszczenie x (t )  ciała w ruchu harmonicznym:

$$x (t) = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

gdzie:
A  – amplituda drgań,
ω  – częstość kołowa drgań,
φ  – początkowa faza drgań.

Zgodnie z treścią zadania mamy znaleźć takie t, po upływie którego przemieszczenie x (t )  ciała będzie równe połowie amplitudy:

$$x (t) = \frac{A}{2}$$

Podstawiając powyższą zależność do wzoru na x (t ) , dostaniemy:

$$\frac{A}{2} = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Zauważ, że amplituda A  drgań po obydwu stronach równania ulegnie skróceniu. Faza φ  jest znana i wynosi 0. Jedyną niewiadomą jest wartość częstości kołowej ω. Możemy ją jednak wyrazić jako:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$$

Wiemy, że okres T  = 6 s. Otrzymamy zatem:

$$\frac{1}{2} = \textrm{cos} \left( \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{6 \hspace{.05cm} \textrm{s}} \hspace{.05cm} t + 0 \right) = \textrm{cos} \left( \frac{\pi}{3} \hspace{.05cm} t \cdot \tfrac{1}{\textrm{s}} \right)$$

Wielkość π odpowiada 180^o, zatem 1/3 π = 60^o. Dostaniemy więc:

$$\frac{1}{2} = \textrm{cos} \left( 60 ^\textrm{o} \cdot t \cdot \tfrac{1}{\textrm{s}} \right)$$

Ponieważ cos 60^o = 1/2, dlatego czas t  musi być równy jedną sekundę (tylko wtedy prawa strona powyższego równania będzie równa jego lewej stronie). Tak więc rozwiązaniem tego zadania jest wartość t, równa:

$$t = 1 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$