Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym – zadanie nr 2

Skok sprężyny, równy dwóm amplitudom, wynosi 0,54 m. Oblicz maksymalną wartość prędkości i przyspieszenia sprężyny, zakładając, że porusza się ona ruchem harmonicznym z częstością kołową równą 90 obr/min.

Maksymalna wartość prędkości V_max  i przyspieszenia a_max  ciała w ruchu harmonicznym wyraża się następująco (zobacz: Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym):

$$V_{max} = \omega \hspace{.05cm} A$$

$$a_{max} = \omega^2 \hspace{.01cm} A$$

gdzie:
ω  – częstość kołowa drgań,
A  – amplituda drgań.

Wartość amplitudy A  drgań nie występuje bezpośrednio w treści zadania. Możemy ją jednak z łatwością obliczyć korzystając z faktu, że skok sprężyny, wykonującej drgania, równy jest 2 A. W związku z tym:

$$A = \tfrac{1}{2} \cdot 0,\hspace{-.1cm}54 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 0,\hspace{-.1cm}27 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Wartość częstości kołowej ω  drgań sprężyny jest co prawda znana, jednak zanim podstawimy ją do wzorów na V_max   oraz  a_max  będziemy musieli ją wyrazić w radianach na sekundę (rad/s), czyli w podstawowej jednostce częstości kołowej:

$$\omega = 90 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{obr}}{\textrm{min}} = 90 \cdot \frac{2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \textrm{rad}}{60 \hspace{.05cm} \textrm{s}} = 3 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{rad}}{\textrm{s}}$$

Znając wartość ω  i A  możemy przystąpić do obliczenia maksymalnej prędkości i przyspieszenia sprężyny. Po podstawieniu wartości liczbowych do wyrażeń na V_max   i  a_max , otrzymamy:

$$V_{max} = 3 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{rad}}{\textrm{s}} \cdot 0,\hspace{-.1cm}27 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 2,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

$$a_{max} = \left( 3 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{rad}}{\textrm{s}} \right)^2 \cdot 0,\hspace{-.1cm}27 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 23,\hspace{-.1cm}9 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$$