Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym – zadanie nr 3

W pewnym porcie powierzchnia oceanu podnosi się i opada ruchem harmonicznym o okresie 12 h. Odległość pomiędzy najwyższym, a najniższym poziomem wody wynosi d. Oblicz ile czasu potrzeba, aby woda opadła do poziomu leżącego d/4 poniżej maksimum. Faza początkowa drgań φ  = 0.

Sytuację opisaną w treści zadania przedstawiono schematycznie na poniższym rysunku, gdzie d  to odległość pomiędzy najwyższym a najniższym poziomem powierzchni oceanu, d/2 – połowa odległości pomiędzy tymi dwoma skrajnymi punktami, z kolei poprzez d/4 oznaczono położenie poziomu powierzchni oceanu leżącego d/4 poniżej poziomu maksymalnego.

Aby obliczyć czas t  potrzebny na opadnięcie wody z najwyższego poziomu do poziomu leżącego d/4 poniżej maksimum, należy zgodnie z poniższym wzorem (opisującym przemieszczenie ciała drgającego ruchem harmonicznym)

$$x (t) = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

posiadać informację na temat amplitudy A, częstości kołowej ω  oraz początkowej fazy drgań φ.

Zauważ, że zgodnie z rysunkiem, odległość d/2 reprezentuje amplitudę drgań poruszającej się ruchem harmonicznym powierzchni oceanu, zatem amplituda A, wynosi:

$$A = \frac{d}{2}$$

Wiemy także, że okres T  drgań jest równy 12 h, dzięki czemu częstość kołową ω  możemy wyrazić jako:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{12 \hspace{.05cm} \textrm{h}} = \frac{\pi}{6} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{rad}}{\textrm{h}}$$

Początkowa faza drgań φ  również jest znana i wynosi 0. Znając więc wszystkie parametry ruchu harmonicznego wody oceanicznej możemy przystąpić do obliczenia czasu t, po upływie którego x(t)  = d/4. Podstawiając podane wyżej wielkości do wzoru na x(t), dostaniemy:

$$\frac{d}{4} = \frac{d}{2} \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( \frac{\pi \hspace{.05cm} \textrm{rad}}{6 \hspace{.05cm} \textrm{h}} \hspace{.1cm} t \right)$$

skąd po skróceniu, otrzymamy:

$$\frac{1}{2} = \textrm{cos} \left( \frac{\pi \hspace{.05cm} \textrm{rad}}{6 \hspace{.05cm} \textrm{h}} \hspace{.1cm} t \right)$$

Zgodnie z powyższym wyrażeniem musimy znaleźć takie t, dla którego faza ruchu (wielkość stojąca w okrągłym nawiasie) będzie równa π/3, ponieważ  $\textrm{cos} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$:

$$\frac{\pi \hspace{.05cm} \textrm{rad}}{6 \hspace{.05cm} \textrm{h}} \hspace{.1cm} t = \frac{\pi}{3}$$

Po przekształceniu powyższej zależności dostaniemy szukaną wartość czasu t, równą:

$$t = 2 \hspace{.05cm} \textrm{h}$$