Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym – zadanie nr 3

W pewnym porcie powierzchnia oceanu podnosi się i opada ruchem harmonicznym o okresie 12 h. Odległość pomiędzy najwyższym, a najniższym poziomem wody wynosi d. Oblicz ile czasu potrzeba, aby woda opadła do poziomu leżącego d/4 poniżej maksimum. Faza początkowa drgań φ  = 0.

Sytuację opisaną w treści zadania przedstawiono schematycznie na poniższym rysunku, gdzie d  to odległość pomiędzy najwyższym a najniższym poziomem powierzchni oceanu, d/2 – połowa odległości pomiędzy tymi dwoma skrajnymi punktami, z kolei poprzez d/4 oznaczono położenie poziomu powierzchni oceanu leżącego d/4 poniżej poziomu maksymalnego.

Aby obliczyć czas t  potrzebny na opadnięcie wody z najwyższego poziomu do poziomu leżącego d/4 poniżej maksimum, należy zgodnie z poniższym wzorem (opisującym przemieszczenie ciała drgającego ruchem harmonicznym)

$$x(t)=A\text{cos}(\omega t+\phi )$$

posiadać informację na temat amplitudy A, częstości kołowej ω  oraz początkowej fazy drgań φ.

Zauważ, że zgodnie z rysunkiem, odległość d/2 reprezentuje amplitudę drgań poruszającej się ruchem harmonicznym powierzchni oceanu, zatem amplituda A, wynosi:

$$A=\frac{d}{2}$$

Wiemy także, że okres T  drgań jest równy 12 h, dzięki czemu częstość kołową ω  możemy wyrazić jako:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{12\text{h}}=\frac{\pi }{6}\frac{\text{rad}}{\text{h}}$$

Początkowa faza drgań φ  również jest znana i wynosi 0. Znając więc wszystkie parametry ruchu harmonicznego wody oceanicznej możemy przystąpić do obliczenia czasu t, po upływie którego x(t)  = d/4. Podstawiając podane wyżej wielkości do wzoru na x(t), dostaniemy:

$$\frac{d}{4}=\frac{d}{2}\text{cos}\left(\frac{\pi \text{rad}}{6\text{h}}t\right)$$

skąd po skróceniu, otrzymamy:

$$\frac{1}{2}=\text{cos}\left(\frac{\pi \text{rad}}{6\text{h}}t\right)$$

Zgodnie z powyższym wyrażeniem musimy znaleźć takie t, dla którego faza ruchu (wielkość stojąca w okrągłym nawiasie) będzie równa π/3, ponieważ  $\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$:

$$\frac{\pi \text{rad}}{6\text{h}}t=\frac{\pi }{3}$$

Po przekształceniu powyższej zależności dostaniemy szukaną wartość czasu t, równą:

$$t=2\text{h}$$