Prawo Pascala – zadanie nr 2

Prasa hydrauliczna składa się z małego tłoka o polu powierzchni S₁ = 2 cm² i tłoka dużego o polu powierzchni S₂ = 10 S₁.

a) Jaką siłą trzeba działać na mniejszy tłok, aby zrównoważyć ciężar samochodu o masie 1,5 tony, stojącego na dużym tłoku?

b) O jaki odcinek należy przesunąć mały tłok, aby duży tłok z samochodem przesunął się o 20 cm ku górze?

Sytuację opisaną w treści zadania przedstawia poniższy rysunek. Zgodnie z zasadą działania prasy hydraulicznej siła F₁ działająca prostopadle do powierzchni mniejszego tłoka powoduje powstanie siły F₂ działającej na duży tłok.

Aby zrównoważyć ciężar samochodu umieszczonego na dużym tłoku prasy hydraulicznej o powierzchni S₂ = 10 S₁, wartość siły F₁ działającej na mniejszy tłok musi być tak dobrana, aby wartość siły F₂ działającej prostopadle na powierzchnię dużego tłoka była równa sile ciężkości F_g  związanej z samochodem (zobacz rysunek). Wartość siły F₁ obliczymy stosując prawo Pascala. Zgodnie z tym prawem zmiana ciśnienia Δp  spowodowana działaniem pewnej zewnętrznej siły przenoszona jest bez zmiany wartości do każdego miejsca w płynie:

$$\Delta \hspace{.03cm} p = \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$$

Po przekształceniu powyższego wyrażenia względem F₁, dostaniemy:

$$F_1 = F_2 \hspace{.05cm} \frac{S_1}{S_2} = F_2 \hspace{.05cm} \frac{S_1}{10 \hspace{.05cm} S_1} = \tfrac{1}{10} \hspace{.05cm} F_2$$

Wiedząc, że F₂  = F_g, mamy:

$$F_1 = \tfrac{1}{10} \hspace{.05cm} F_2 = \tfrac{1}{10} \hspace{.05cm} F_g = \tfrac{1}{10} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} g$$

gdzie:
m  – masa samochodu,
g  – przyspieszenie ziemskie.

Po podstawieniu wartości liczbowych do powyższego wzoru oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$F_1 = \tfrac{1}{10} \cdot 1500 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} = 1472 \hspace{.05cm} \textrm{N}$$

Znając wartość siły F₁  możemy przystąpić do drugiej części zadania. Aby obliczyć długość odcinka d₁ o jaki należy przesunąć mały tłok, aby duży tłok przesunął się o d₂ = 20 cm ku górze, skorzystamy z bardzo ważnej własności prasy hydraulicznej (szerzej omówiliśmy to w artykule Prawo Pascala. Prasa hydrauliczna):

Powyższą formułę możemy zapisać następująco:

$$W_1 = W_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} F_1 \hspace{.05cm} d_1 = F_2 \hspace{.05cm} d_2$$

gdzie:
d₁  i d₂  to długość odcinka o jaki przesunął się odpowiednio mały i duży tłok prasy hydraulicznej (zobacz rysunek).

Po przekształceniu powyższej zależności względem d₁, podstawieniu do niej wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$d_1 = d_2 \hspace{.05cm} \frac{F_2}{F_1} = d_2 \hspace{.05cm} \frac{F_2}{\frac{1}{10} \hspace{.05cm} F_2} = 10 \hspace{.1cm} d_2 = 10 \cdot 0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 2 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$