Energia reakcji – zadanie nr 2

Cząstka α (jądro helu ⁴He) o energii kinetycznej 6,5 MeV zderza się ze spoczywającym jądrem ¹⁴N. W wyniku reakcji powstaje jądro ¹⁷O oraz proton. Oblicz energię kinetyczną jądra tlenu oraz energię reakcji Q  wiedząc, że energia kinetyczna protonu jest równa 3,2 MeV. Masy cząstek biorących udział w reakcji są znane i wynoszą:

Na początku zapiszmy równanie reakcji:

Cząstka α  i jądro azotu ¹⁴N są substratami reakcji, z kolei jądro tlenu ¹⁷O i proton – produktami reakcji. Zakładając, że reakcja ta zachodzi w układzie izolowanym tj. układzie nie wymieniającym masy i energii z otoczeniem, obliczenie energii kinetycznej jądra tlenu będzie możliwe przy skorzystaniu z następującego twierdzenia (zobacz: Energia reakcji):

Zgodnie z powyższym twierdzeniem całkowita energia układu przed i po reakcji musi przyjmować jednakową wartość. Innymi słowy, całkowita energia substratów reakcji musi być równa całkowitej energii produktów reakcji:

$$E_{0\alpha} + E_{k\alpha} + E_{0\textrm{N}} + E_{k\textrm{N}} = E_{0\textrm{O}} + E_{k\textrm{O}} + E_{0\textrm{p}} + E_{k\textrm{p}}$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem E_kO i zauważeniu, że energia kinetyczna jądra ¹⁴N wynosi zero (jądro azotu spoczywa) uzyskamy ogólne wyrażenie na energię kinetyczną jądra tlenu:

$$E_{k\textrm{O}} = E_{0\alpha} + E_{k\alpha} + E_{0\textrm{N}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{0\textrm{O}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{0\textrm{p}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{k\textrm{p}}$$

Po podstawieniu w miejsce $E_{0\alpha}, E_{0\textrm{N}}, E_{0\textrm{O}}$ i $E_{0\textrm{p}}$ wyrażeń na energię spoczynkową uzyskamy:

$$E_{k\textrm{O}} = \left[ \hspace{.03cm} m \hspace{-.05cm} \left( \alpha \right) + m \hspace{-.05cm} \left( \textrm{N} \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{-.05cm} \left( \textrm{O} \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{-.05cm} \left( \textrm{p} \right) \hspace{.03cm} \right] c^2 + E_{k\alpha} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{k\textrm{p}}$$

Zauważ, że wyrażenie:

$$\left[ \hspace{.03cm} m \hspace{-.05cm} \left( \alpha \right) + m \hspace{-.05cm} \left( \textrm{N} \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{-.05cm} \left( \textrm{O} \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m \hspace{-.05cm} \left( \textrm{p} \right) \hspace{.03cm} \right] c^2$$

reprezentuje energię reakcji Q  (zobacz: Energia reakcji – zadanie nr 1).

Ostatecznie, po podstawieniu do powyższych dwóch równań wartości liczbowych podanych w treści zadania otrzymamy wartość energii reakcji Q  równą:

$$Q = \left[ \hspace{.03cm} 4,\hspace{-.1cm}0026 \hspace{.15cm} \textrm{a.j.m.} + 14,\hspace{-.1cm}0067 \hspace{.15cm} \textrm{a.j.m.} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 16,\hspace{-.1cm}9991 \hspace{.15cm} \textrm{a.j.m.} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1,\hspace{-.1cm}0073 \hspace{.15cm} \textrm{a.j.m.} \right] \cdot \left( 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2 = 4,\hspace{-.1cm}3 \cdot 10^{-13} \hspace{.05cm} \textrm{J} = 2,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{MeV}$$

oraz wartość energii kinetycznej jądra ¹⁷O wynoszącą:

$$E_{k\textrm{O}} = 2,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{MeV} + 6,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{MeV} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{MeV} = 6,\hspace{-.1cm}0 \hspace{.05cm} \textrm{MeV}$$