Bilans cieplny – zadanie nr 1

Do wody o masie m₁ = 1 kg i temperaturze T₁ = 15 ^oC wlano wodę o masie m₂ = 2,5 kg i temperaturze T₂ = 33 ^oC. Oblicz końcową temperaturę wody dla tego układu.

W zadaniach dotyczących bilansu cieplnego, o ile nie wynika to bezpośrednio z treści zadania, zakładamy, że wszelkie procesy cieplne w obrębie danego układu zachodzą bez jakichkolwiek strat energetycznych. Innymi słowy rozważany układ fizyczny traktujemy jako układ izolowany, czyli układ nie wymieniający energii i masy z otoczeniem.

Wielkością szukaną w zadaniu jest temperatura końcowa wody po wymieszaniu się wody zimniejszej o temperaturze T₁ = 15 ^oC z wodą cieplejszą o temperaturze T₂ = 33 ^oC. Ponieważ T₂ > T₁, zatem zgodnie z drugą zasadą termodynamiki woda o temperaturze T₁ będzie pobierać ciepło od wody o temperaturze T₂. Jeżeli końcową temperaturę tego układu (po całkowitym wymieszaniu się wód) oznaczymy jako T_k , wówczas ciepło Q₁ pobrane przez wodę zimniejszą oraz ciepło Q₂ oddane przez wodę cieplejszą będzie równe:

$$Q_1 = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

oraz

$$Q_2 = m_2 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie c_w  to ciepło właściwe wody.

Ponieważ, zgodnie z wcześniejszym założeniem, układ ten traktujemy jako układ izolowany, dlatego ciepło pobrane przez wodę zimniejszą musi być równe co do wartości ciepłu straconemu przez wodę cieplejszą:

$$Q_1 + Q_2 = 0 \hspace{1.5cm} \longrightarrow \hspace{1.5cm} Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_2$$

Po podstawieniu w miejsce Q₁ i Q₂ wyrażeń na ciepło podanych wyżej dostaniemy:

$$m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem temperatury T_k  otrzymamy:

$$T_k = \frac{m_1 \hspace{.05cm} T_1 + m_2 \hspace{.05cm} T_2}{m_1 + m_2}$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych dostaniemy wartość T_k  równą:

$$T_k = \frac{1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 15 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} + 2,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 33 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}{1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} + 2,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = \frac{97,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.1cm} \textrm{kg} \cdot \hspace{.02cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}{3,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} \approx 28 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}$$