Rozszerzalność temperaturowa – zadanie nr 5

Średnica stalowego pręta w temperaturze 40 ^oC wynosi 4,000 cm. Wewnętrzna średnica miedzianego pierścienia zmierzona również w tej samej temperaturze wynosi 3,990 cm. Oblicz w jakiej temperaturze pierścień będzie można nałożyć na pręt. Współczynnik rozszerzalności liniowej stali oraz miedzi wynosi odpowiednio 12 ∙ 10^-6 1/^oC oraz 16 ∙ 10^-6 1/^oC.

Zarówno średnica stalowego pręta, jak i miedzianego pierścienia ulegają zmianie na skutek zjawiska rozszerzalności temperaturowej. Średnica to liniowy wymiar ciała stałego, dlatego aby obliczyć jej zmianę wskutek zmiany temperatury skorzystamy z poniższego wzoru:

\begin{equation}
L = L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \alpha \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right]
\end{equation}

gdzie:
L  – średnica pręta/pierścienia w temperaturze T₁ ,
L₀  – średnica pręta/pierścienia w temperaturze T₀ ,
α – współczynnik rozszerzalności liniowej materiału, z którego wykonano pręt/pierścień.

Zgodnie z treścią zadania wielkością szukaną jest temperatura, w której miedziany pierścień będzie można nałożyć na stalowy pręt, a więc szukamy takiej temperatury T₁ , dla której obydwie średnice będą miały jednakową wartość:

$$L_{pr} = L_{prs}$$

gdzie L_pr  i L_prs  to odpowiednio średnica pręta oraz pierścienia (w temperaturze T₁ ).

Podstawiając w miejsce L_pr  i L_prs  wzór (1), zapisany dla pręta oraz pierścienia, dostaniemy:

\begin{equation}
L_{0pr} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \alpha_{stal} \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right] = L_{0prs} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \alpha_{Cu} \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right]
\end{equation}

gdzie L_0pr  i L_0prs  to odpowiednio średnica pręta i pierścienia w temperaturze T₀  = 40 ^oC, α_stal  i α_Cu  – współczynnik rozszerzalności liniowej stali i miedzi, z której wykonano odpowiednio pręt oraz pierścień, z kolei T₁  to, jak wspomniano wyżej, temperatura, w której średnica pręta i pierścienia przyjmują jednakową wartość.

Po przekształceniu równania (2) względem temperatury T₁  otrzymamy:

$$T_1 = T_0 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} \dfrac{L_{0prs} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} L_{0pr}}{L_{0pr} \hspace{.1cm} \alpha_{stal} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} L_{0prs} \hspace{.1cm} \alpha_{Cu}}$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych uzyskamy szukaną wartość temperatury T₁  równą:

$$T_1 = 40 \hspace{.05cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} \dfrac{3,\hspace{-.1cm}990 \hspace{.05cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 4,\hspace{-.1cm}0000 \hspace{.05cm} \rm{cm}}{4,\hspace{-.1cm}0000 \hspace{.05cm} \rm{cm} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 12 \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 10^{-6} \hspace{.05cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3,\hspace{-.1cm}990 \hspace{.05cm} \rm{cm} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 16 \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 10^{-6} \hspace{.05cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}}} = 671 \hspace{.05cm} \rm{^o C}$$