Rozszerzalność temperaturowa – zadanie nr 4

Termodynamika - zadania
2 komentarze
Drukuj

Aluminiowe naczynie o pojemności 200 cm3 wypełniono całkowicie gliceryną o temperaturze 30 oC. Ile gliceryny rozleje się (jeżeli w ogóle to nastąpi) po ogrzaniu naczynia i gliceryny do temperatury 55 oC? Współczynnik rozszerzalności liniowej aluminium wynosi 23 ∙ 10-6 1/oC, z kolei współczynnik rozszerzalności objętościowej gliceryny jest równy 5,1 ∙ 10-4 1/oC.

rozwiązanie

Jak wynika z treści zadania objętość aluminiowego naczynia oraz gliceryny, całkowicie wypełniającej to naczynie, zależy od ich temperatury. Zmianę objętości naczynia oraz gliceryny będziemy więc mogli obliczyć korzystając z poniższego wyrażenia (zobacz: Rozszerzalność temperaturowa):

\begin{equation}
V = V_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \beta \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right]
\end{equation}

Zgodnie z powyższym wzorem, objętość ciała wzrasta wtedy, gdy T1  > T0 . Z taką sytuacją mamy właśnie do czynienia w tym zadaniu. Wielkością fizyczną informującą o ile zwiększy się objętość ciała wskutek zmiany jego temperatury, jest współczynnik rozszerzalności objętościowej β – im większa jest jego wartość, tym większa jest zmiana objętości ciała. W naszym przypadku wartość współczynnika βglic  dla gliceryny (βglic  = 5,1 ∙ 10-4 1/oC) jest większa niż dla aluminium (βAl  = 3 αAl  = 3 ∙ 23 ∙ 10-6 1/oC = 0,69 ∙ 10-4 1/oC), z którego wykonano naczynie, dlatego po ogrzaniu naczynia oraz gliceryny, gliceryna rozleje się z naczynia.

Aby się o tym przekonać podstawmy do wzoru (1) wartości liczbowe związane z aluminiowym naczyniem oraz z gliceryną i wykonajmy stosowne obliczenia. Otrzymamy, że objętość aluminiowego naczynia VAl  wyniesie:

$$V_{Al} = 200 \hspace{.1cm} \rm{cm^3} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[1 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} 3 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 23 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 55 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 30 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right) \right] = 200,\hspace{-.1cm}35 \hspace{.1cm} \rm{cm^3}$$

z kolei objętość gliceryny Vglic  będzie równa:

$$V_{glic} = 200 \hspace{.1cm} \rm{cm^3} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[1 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} 5,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-4} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 55 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 30 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right) \right] = 202,\hspace{-.1cm}55 \hspace{.1cm} \rm{cm^3}$$

Widzimy więc, że zgodnie z tym co napisaliśmy wyżej, objętość gliceryny wzrośnie bardziej niż objętość aluminiowego naczynia. Różnica objętości ΔV  = Vglic  – VAl  wyniesie 2,2 cm3 i właśnie taka ilość gliceryny rozleje się z naczynia.

Dodaj komentarz

2 komentarze

  • Paweł

    Dodano dnia 12 stycznia 2018 o godz. 20:02

    Czy to zadanie aby na pewno jest poprawnie rozwiązane?
    W przypadku aluminium mowa jest o współczynniku liniowym, czyli każdy z 3 wymiarów się zmieni, czyli
    (1+b*detla T) trzeba podnieść do potęgi 3

    Wzór na objętość pojemika powinien mieć postać:
    Val = Vp*(1 + 23*10^-6*(55-30))^3

    p.s. mam nadzieje, ze zapis jest czytelny

    • Admin

      Dodano dnia 16 stycznia 2018 o godz. 19:47

      Zgodnie z teorią pomiędzy współczynnikiem β a α zachodzi następująca zależność: β = 3 α (zobacz: Rozszerzalność temperaturowa), tak więc zadanie jest dobrze rozwiązane.