Rozszerzalność temperaturowa – zadanie nr 4

Aluminiowe naczynie o pojemności 200 cm³ wypełniono całkowicie gliceryną o temperaturze 30 ^oC. Ile gliceryny rozleje się (jeżeli w ogóle to nastąpi) po ogrzaniu naczynia i gliceryny do temperatury 55 ^oC? Współczynnik rozszerzalności liniowej aluminium wynosi 23 ∙ 10^-6 1/^oC, z kolei współczynnik rozszerzalności objętościowej gliceryny jest równy 5,1 ∙ 10^-4 1/^oC.

Jak wynika z treści zadania objętość aluminiowego naczynia oraz gliceryny, całkowicie wypełniającej to naczynie, zależy od ich temperatury. Zmianę objętości naczynia oraz gliceryny będziemy więc mogli obliczyć korzystając z poniższego wyrażenia (zobacz: Rozszerzalność temperaturowa):

\begin{equation}
V = V_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \beta \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right]
\end{equation}

Zgodnie z powyższym wzorem, objętość ciała wzrasta wtedy, gdy T₁  > T₀ . Z taką sytuacją mamy właśnie do czynienia w tym zadaniu. Wielkością fizyczną informującą o ile zwiększy się objętość ciała wskutek zmiany jego temperatury, jest współczynnik rozszerzalności objętościowej β – im większa jest jego wartość, tym większa jest zmiana objętości ciała. W naszym przypadku wartość współczynnika β_glic  dla gliceryny (β_glic  = 5,1 ∙ 10^-4 1/^oC) jest większa niż dla aluminium (β_Al  = 3 α_Al  = 3 ∙ 23 ∙ 10^-6 1/^oC = 0,69 ∙ 10^-4 1/^oC), z którego wykonano naczynie, dlatego po ogrzaniu naczynia oraz gliceryny, gliceryna rozleje się z naczynia.

Aby się o tym przekonać podstawmy do wzoru (1) wartości liczbowe związane z aluminiowym naczyniem oraz z gliceryną i wykonajmy stosowne obliczenia. Otrzymamy, że objętość aluminiowego naczynia V_Al  wyniesie:

$$V_{Al} = 200 \hspace{.1cm} \rm{cm^3} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[1 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} 3 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 23 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 55 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 30 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right) \right] = 200,\hspace{-.1cm}35 \hspace{.1cm} \rm{cm^3}$$

z kolei objętość gliceryny V_glic  będzie równa:

$$V_{glic} = 200 \hspace{.1cm} \rm{cm^3} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[1 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} 5,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-4} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 55 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 30 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right) \right] = 202,\hspace{-.1cm}55 \hspace{.1cm} \rm{cm^3}$$

Widzimy więc, że zgodnie z tym co napisaliśmy wyżej, objętość gliceryny wzrośnie bardziej niż objętość aluminiowego naczynia. Różnica objętości ΔV  = V_glic  – V_Al  wyniesie 2,2 cm³ i właśnie taka ilość gliceryny rozleje się z naczynia.