Rozszerzalność temperaturowa – zadanie nr 3

Oblicz objętość kuli ołowianej w temperaturze 50 ^oC, wiedząc, że jej promień R₀  w temperaturze 100 ^oC wynosi 2 cm. Współczynnik rozszerzalności liniowej ołowiu wynosi 29 ∙ 10^-6 1/^oC.

Zmianę objętości ciała spowodowaną zmianą jego temperatury możemy obliczyć korzystając z poniższego wyrażenia:

$$V = V_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \beta \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right]$$

gdzie:
V  – objętość ciała w temperaturze T₁ ,
V₀  – objętość ciała w temperaturze T₀ ,
β  – współczynnik rozszerzalności objętościowej ciała.

Zgodnie z treścią zadania T₀  = 100 ^oC, natomiast T₁  = 50 ^oC. Objętość V₀  kuli oraz współczynnika rozszerzalności objętościowej β nie jest znana. Wiemy jednak, że promień R₀  kuli w temperaturze 100 ^oC wynosi 2 cm, zatem korzystając ze wzoru na objętość kuli dostaniemy:

$$V = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R_0^3 = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \left( 2 \hspace{.1cm} \rm{cm} \right)^3 = 33,\hspace{-.1cm}49 \hspace{.1cm} \rm{cm^3}$$

W artykule Rozszerzalność temperaturowa napisałem, że w przypadku izotropowych ciał stałych, do których zalicza się ołów, pomiędzy ich współczynnikiem rozszerzalności objętościowej β a współczynnikiem rozszerzalności liniowej α zachodzi następująca relacja:

$$\beta = 3 \hspace{.1cm} \alpha$$

Korzystając z powyższej zależności otrzymamy wartość β równą:

$$\beta = 3 \hspace{.1cm} \alpha = 3 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 29 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}} = 87 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}}$$

Znając wartość V₀ ,  β, T₀  oraz T₁  możemy przystąpić do obliczenia objętości V  kuli po zmianie jej temperatury o 50 ^oC:

$$V = 33,\hspace{-.1cm}49 \hspace{.1cm} \rm{cm^3} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[1 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} 87 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 50 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 100 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right) \right] = 33,\hspace{-.1cm}35 \hspace{.1cm} \rm{cm^3}$$