Rozszerzalność temperaturowa – zadanie nr 2

Pręt aluminiowy ma w temperaturze 20 ^oC długość L₀  = 5,0000 cm. W temperaturze wrzenia wody jego długość wzrasta o 0,0092 cm. Oblicz długość L  pręta w temperaturze krzepnięcia wody oraz temperaturę T, w której pręt ma długość L_T  = 5,0150 cm.

Zmianę wymiarów liniowych ciał stałych wskutek zmiany ich temperatury opisuje poniższe wyrażenie:

\begin{equation}
L = L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \alpha \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right]
\end{equation}

Jak wynika z treści zadania, długość pręta aluminiowego zależy od wartości jego temperatury, zatem, aby obliczyć jego długość w temperaturze krzepnięcia wody oraz wartość temperatury, w której jego długość wynosi 5,0150 cm, będziemy mogli skorzystać z powyższego wzoru.

Podobnie jak w zadaniu Rozszerzalność temperaturowa – zadanie nr 1 wartość współczynnika rozszerzalności liniowej α nie jest podana w treści zadania. Możemy ją jednak z łatwością wyznaczyć, ponieważ wiemy, że po ogrzaniu pręta od 20 ^oC do 100 ^oC (temperatura wrzenia wody) jego długość wzrasta o 0,0092 cm. Przekształcając powyższe wyrażenie względem współczynnika α, wprowadzając oznaczenia T’₁  oraz L’  reprezentujące temperaturę równą 100 ^oC oraz długość pręta w tej temperaturze równą 5,0092 cm, i wstawiając do niego wartości liczbowe, dostaniemy:

$$\alpha = \dfrac{L’ \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} L_0}{L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( T’_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right)} = \dfrac{5,\hspace{-.1cm}0092 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 5,\hspace{-.1cm}0000 \hspace{.1cm} \rm{cm}}{5,\hspace{-.1cm}0000 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 100 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 20 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right)} = 23 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm ^o C}$$

Wiedząc ile wynosi wartość α dla aluminium, z którego wykonano pręt (porównaj uzyskaną wartość z wartością α w tabeli), możemy przystąpić do obliczenia długości pręta w temperaturze krzepnięcia wody, czyli w temperaturze równej 0 ^oC. Ponieważ temperatura ta jest niższa od temperatury 20 ^oC, spodziewamy się, że długość pręta ulegnie skróceniu w porównaniu z jego długością początkową L₀  = 5,0000 cm. Po wstawieniu do wzoru (1) wartości liczbowych otrzymamy:

$$L = 5,\hspace{-.1cm}0000 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} 23 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm ^o C} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 0 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 20 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right) \right] = 4,\hspace{-.1cm}9977 \hspace{.1cm} \rm{cm}$$

Zgodnie z przypuszczeniem uzyskana wartość długości L  jest mniejsza od jego długości początkowej.

W drugiej części zadania wielkością szukaną jest temperatura T, w której długość pręta L_T  wynosi 5,0150 cm. Aby ją wyznaczyć przekształcimy wzór (1) względem temperatury T₁ :

$$L = L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \alpha \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right] \hspace{1.5cm} \longrightarrow \hspace{1.5cm} T_1 = T_0 + \dfrac{L \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} L_0}{L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \alpha}$$

Wstawiając następnie w miejsce L oraz T₁ , odpowiednio, wielkość L_T  oraz T dostaniemy:

$$T = T_0 + \dfrac{L_T \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} L_0}{L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \alpha}$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy:

$$T = 20 \hspace{.1cm} \rm{^o C} + \dfrac{5,\hspace{-.1cm}0150 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 5,\hspace{-.1cm}0000 \hspace{.1cm} \rm{cm}}{5,\hspace{-.1cm}0000 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 23 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm{^o C}}} = 150 \hspace{.1cm} \rm{^o C}$$