Rozszerzalność temperaturowa – zadanie nr 1

Drut miedziany o długości 2 m po ogrzaniu go od 20 ^oC do 70 ^oC wydłużył się o 1,6 mm. Ile przypuszczalnie wyniesie długość tego drutu jeżeli ogrzejemy go do temperatury 180 ^oC?

Długość to jeden z liniowych wymiarów ciała stałego, dlatego aby obliczyć przypuszczalną długość drutu po zwiększeniu jego temperatury z 20 ^oC do 180 ^oC skorzystamy z poniższego wyrażenia, opisującego zmianę liniowego wymiaru ciała stałego wskutek zmiany jego temperatury (zobacz: Rozszerzalność temperaturowa):

\begin{equation}
L = L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 + \alpha \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) \right]
\end{equation}

gdzie:
L  to długość drutu w temperaturze T₁ ,
L₀  – długość drutu w temperaturze T₀ ,
α – współczynnik rozszerzalności liniowej.

Zgodnie z treścią zadania L₀  = 2 m, T₀  = 20 ^oC, z kolei T₁  = 180 ^oC. Wartość współczynnika α  dla miedzi, z której wykonano drut, nie jest znana, jednak możemy ją z łatwością wyznaczyć korzystając z danych zawartych w treści zadania. Wiemy, że długość drutu po ogrzaniu go od 20 ^oC do 70 ^oC zwiększyła się o 1,6 mm, zatem po przekształceniu powyższego wyrażenia względem współczynnika rozszerzalności liniowej α , wprowadzeniu oznaczeń T’₁  oraz L’  związanych z temperaturą 70 ^oC oraz długością drutu w tej temperaturze równą 200,16 cm, oraz podstawieniu wartości liczbowych, dostaniemy:

$$\alpha = \dfrac{L’ \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} L_0}{L_0 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( T’_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right)} = \dfrac{200,\hspace{-.1cm}16 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 200 \hspace{.1cm} \rm{cm}}{200 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 70 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 20 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right)} = 16 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm ^o C}$$

Otrzymana wartość współczynnika α  jest zgodna z wartością współczynnika rozszerzalności liniowej dla miedzi zamieszczonej w tabeli.

Znając wartość współczynnika rozszerzalności liniowej α, możemy przystąpić do obliczenia przypuszczalnej długości drutu po ogrzaniu go od temperatury T₀  = 20 ^oC do temperatury T₁  = 180 ^oC. Wstawiając wartości liczbowe do wzoru (1) otrzymamy:

$$L = 200 \hspace{.1cm} \rm{cm} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left[ 1 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} 16 \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} 10^{-6} \hspace{.1cm} \tfrac{1}{\rm ^o C} \hspace{.1cm} \cdot \hspace{.1cm} \left( 180 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 20 \hspace{.1cm} \rm{^o C} \right) \right] = 200,\hspace{-.1cm}512 \hspace{.1cm} \rm{cm}$$

Widzimy więc, że długość drutu wydłużyła się o 5,12 mm tj. o ponad pół centymetra, w stosunku do długości początkowej drutu.