Bilans cieplny – zadanie nr 2

Do pewnego naczynia, w którym znajdowało się 600 g wody o temperaturze 10 ^oC dolano 250 g bardzo gorącej wody. Pomiar temperatury wykonany po pewnym czasie wskazał 35 ^oC. Jaka była temperatura gorącej wody?

Podobnie jak w zadaniu Bilans cieplny – zadanie nr 1, naczynie wypełnione mieszaniną zimnej oraz gorącej wody będziemy traktowali jako układ izolowany tj. układ nie wymieniający energii oraz masy z otoczeniem. Początkowo w naczyniu znajdowała się tylko zimna woda o masie m₁ = 0,6 kg i temperaturze T₁ = 10 ^oC. Po wlaniu do naczynia gorącej wody o masie m₂ = 0,25 kg i temperaturze T₂, temperatura końcowa mieszaniny tych dwóch wód wyniosła T_k  = 35 ^oC.

Aby obliczyć jaka była temperatura gorącej wody zaczniemy od zapisania wyrażenia na ciepło Q₁, jakie woda zimniejsza pobrała od wody cieplejszej oraz na ciepło Q₂, jakie woda cieplejsza oddała wodzie zimniejszej. Mamy więc:

$$Q_1 = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

oraz

$$Q_2 = m_2 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie c_w  to ciepło właściwe wody.

Ponieważ układ ten traktujemy jako układ izolowany, zatem:

$$Q_1 + Q_2 = 0 \hspace{1.5cm} \longrightarrow \hspace{1.5cm} Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_2$$

skąd po podstawieniu wyrażeń na ciepło Q₁ i Q₂, dostaniemy:

$$m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

Dzieląc obydwie strony powyższego równania przez c_w  i przekształcając je następnie względem szukanej temperatury T₂, uzyskamy:

$$m_1 \hspace{.05cm} T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_1 \hspace{.05cm} T_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} T_k + m_2 \hspace{.05cm} T_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} T_2 = \frac{\left( m_1 + m_2 \right) T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_1 \hspace{.05cm} T_1}{m_2}$$

Wszystkie dane potrzebne do obliczenia temperatury T₂ podane są w treści zadania, dlatego:

$$T_2 = \frac{\left( 0,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{kg} + 0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \right) \cdot 35 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 10 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}{0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = \frac{29,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \hspace{.02cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 6 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \hspace{.02cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}{0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = 95 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}$$