Bilans cieplny – zadanie nr 3

Oblicz w jakim stosunku należy zmieszać wodę o temperaturze T₁ = 10 ^oC z wodą o temperaturze T₂ = 50 ^oC, aby temperatura końcowa tej mieszaniny była równa T_k  = 30 ^oC.

Zacznijmy od zapisania równania na ciepło Q₁, jakie woda zimniejsza pobrała od wody cieplejszej oraz na ciepło Q₂, jakie woda cieplejsza oddała wodzie zimniejszej.

Dostaniemy:

$$Q_1 = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

oraz

$$Q_2 = m_2 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie:
m₁ i m₂ to odpowiednio masa wody zimnej oraz ciepłej,
c_w  – ciepło właściwe wody.

Wielkością szukaną w zadaniu jest stosunek mas $\dfrac{m_1}{m_2}$. Jego wartość znajdziemy traktując mieszaninę tych dwóch wód jako układ izolowany tj. układ nie wymieniający energii oraz masy z otoczeniem:

$$Q_1 + Q_2 = 0 \hspace{1.5cm} \longrightarrow \hspace{1.5cm} Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_2$$

Po podstawieniu wzorów na Q₁ i Q₂ do powyższego równania, otrzymamy:

$$m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

Dzieląc obydwie strony powyższego wyrażenia przez c_w  oraz m₂, dostaniemy:

$$\frac{m_1}{m_2} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2}{T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{30 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 50 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}{30 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 10 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} = 1$$

Wynik, który otrzymaliśmy oznacza, że masa wody zimniejszej musi być równa masie wody cieplejszej.