Bilans cieplny – zadanie nr 4

Do naczynia częściowo wypełnionego wodą o masie m₁ = 2 kg i temperaturze T₁ = 23 ^oC wrzucono rozgrzany kawałek cynku o masie m₂ = 0,92 kg i temperaturze T₂ = 120 ^oC. Oblicz ciepło właściwe cynku wiedząc, że temperatura końcowa tego układu wyniosła T_k  = 27 ^oC. Ciepło właściwe wody jest znane i wynosi c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC).

Sposób rozwiązania tego zadania jest bardzo podobny do tego jaki zastosowaliśmy w poprzednich trzech zadaniach dotyczących bilansu cieplnego (zobacz np. Bilans cieplny – zadanie nr 1). Rozgrzany kawałek cynku na skutek istniejącej różnicy temperatur, będzie tak długo oddawał wodzie swoje ciepło, aż zostanie osiągnięty stan równowagi termodynamicznej tj. temperatura cynku i wody ulegnie wyrównaniu. Gdy układ cynk – woda potraktujemy jako układ izolowany (układ nie wymieniający energii i masy z otoczeniem), wówczas ciepło Q₁ pobrane przez wodę musi być równe co do wartości ciepłu Q₂ oddanemu przez kawałek cynku. Sytuację tą możemy zapisać jako (znak minus przed Q₂ oznacza, że ciepło to zostało oddane):

$$Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_{Zn} \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie:
c_w  – ciepło właściwe wody,
c_Zn  – ciepło właściwe cynku.

Wielkością szukaną jest ciepło właściwe cynku c_Zn . Dzieląc obydwie strony powyższego równania przez  $m_2 \left( T_k \hspace{.05cm} – \hspace{.05cm} T_2 \right)$ otrzymamy:

$$c_{Zn} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{m_1 \hspace{.05cm} c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)}{m_2 \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)} = \frac{m_1 \hspace{.05cm} c_w \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_k \right)}{m_2 \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)}
$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych podanych w treści zadania dostaniemy:

$$c_{Zn} = \frac{2 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left( 23 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 27 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right)}{0,\hspace{-.1cm}92 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \left( 27 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 120 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right)} = \frac{- \hspace{.1cm} 33488 \hspace{.1cm} \textrm{J}}{- \hspace{.1cm} 85,\hspace{-.1cm}56 \hspace{.1cm} \textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} = 391 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}$$