Bilans cieplny – zadanie nr 17

Z jakiej wysokości h  powinien spaść kawałek żelaza, aby ogrzał się przy uderzeniu o podłoże o 7 K? Załóż, że podczas uderzenia 75% energii mechanicznej żelaza zamienia się w ciepło. Ciepło właściwe żelaza wynosi c_wFe  = 452 J/kg ⋅ K.

Zadanie to jest bardzo podobne do zadania Bilans cieplny – zadanie nr 16. W tym przypadku 75% energii mechanicznej kawałka żelaza zostaje, wskutek zderzenia z podłożem, zużyte na zwiększenie temperatury żelaza o 7 K. Energia Q  przekazana żelazu wynosi w związku z tym:

$$Q = m \hspace{.05cm} c_{wFe} \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} T$$

gdzie:
m  – masa kawałka żelaza,
c_wFe  – ciepło właściwe żelaza,
ΔT  – zmiana temperatury żelaza.

Z warunku

$$Q = \tfrac{3}{4} \Delta E_p$$

mamy:

$$m \hspace{.05cm} c_{wFe} \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} T = \tfrac{3}{4} \Delta E_p = \tfrac{3}{4} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} h$$

Zmiana wysokości wynosi:

$$\Delta h = h \hspace{.03cm} – h_0$$

gdzie:
h  – szukana wysokość, z której spadł kawałek żelaza,
h₀ – poziom odniesienia związany z podłożem, równy 0 m.

Po uwzględnieniu faktu, że h₀ = 0 m, zmiana wysokości kawałka żelaza wynosi w konsekwencji Δh  = h. Po przekształceniu wyrażenia $m \hspace{.05cm} c_{wFe} \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} T = \tfrac{3}{4} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} h$ względem Δh , podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$\Delta \hspace{.02cm} h = h = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \frac{c_{wFe} \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} T}{g} = \frac{4}{3} \cdot \frac{452 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{K}} \cdot 7 \hspace{.05cm} \textrm{K}}{9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}} = 430 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$