Bilans cieplny – zadanie nr 15

W pewnym naczyniu znajduje się ciecz o masie m₁ = 2,1 kg i temperaturze T₁ = 20 ^oC. Po wrzuceniu do tej cieczy kawałka mosiądzu o masie m₂ = 0,7 kg i temperaturze T₂ = 80 ^oC, temperatura cieczy wzrosła do T₃ = 23 ^oC. Jaka ciecz znajduje się w naczyniu? Ciepło właściwe mosiądzu jest znane i wynosi c_wm  = 377 J/(kg ∙ ^oC).

W zadaniach dotyczących mechaniki płynów wielkością fizyczną charakteryzującą dane ciało (substancję) jest gęstość ρ. W przypadku termodynamiki wielkością charakteryzującą dowolne ciało lub substancję jest ciepło właściwe c_w , wyrażające ilość energii jaką w formie ciepła należy dostarczyć jednostkowej masie ciała (substancji), aby jego temperaturę zwiększyć o jedną jednostkę (jeden stopień).

Aby dowiedzieć się jaka ciecz znajduje się w naczyniu, musimy najpierw zapisać odpowiednie równania opisujące procesy cieplne zachodzące wewnątrz naczynia; następnie na ich podstawie wyznaczyć ciepło właściwe cieczy, by w ostatnim kroku porównać je z wielkościami ciepła właściwego podanymi dla różnych ciał (substancji) np. w tablicach fizycznych.

Zajmijmy się więc zapisaniem bilansu cieplnego dla układu przedstawionego w zadaniu. Początkowo temperatura cieczy była równa T₁. Po wrzuceniu do niej rozgrzanego kawałka mosiądzu o temperaturze T₂, temperatura cieczy wzrosła do wartości T₃ (i jednocześnie temperatura mosiądzu zmalała do tej temperatury). Oznacza to, że ciecz pobrała ciepło od kawałka mosiądzu (temperatura cieczy wzrosła), a mosiądz oddał (stracił) ciepło na rzecz cieczy. Jeżeli ciepło pobrane przez ciecz oznaczymy jako Q₁, a ciepło oddane przez mosiądz jako Q₂, dostaniemy:

$$Q_1 = m_1 \hspace{.05cm} c_{wc} \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} T = m_1 \hspace{.05cm} c_{wc} \left( T_3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

oraz

$$Q_2 = m_2 \hspace{.05cm} c_{wm} \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} T = m_2 \hspace{.05cm} c_{wm} \left( T_3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie c_wc  to szukane ciepło właściwe cieczy.

Traktując układ woda – mosiądz jako układ izolowany, czyli układ nie wymieniający energii oraz masy z otoczeniem, otrzymamy:

$$Q_1 + Q_2 = 0 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_2$$

Po podstawieniu w miejsce Q₁ i Q₂ podanych wyżej wzorów, uzyskamy:

$$m_1 \hspace{.05cm} c_{wc} \left( T_3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_{wm} \left( T_3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

Przekształcając powyższe wyrażenie względem ciepła właściwego cieczy c_wc , otrzymamy:

$$c_{wc} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{m_2 \hspace{.05cm} c_{wm} \left( T_3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)}{m_1 \left( T_3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)} = \frac{m_2 \hspace{.05cm} c_{wm} \left( T_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_3 \right)}{m_1 \left( T_3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń dostaniemy szukaną wartość ciepła właściwego cieczy, równą:

$$c_{wc} = \frac{0,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 377 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left( 80 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 23 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right)}{2,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \left( 23 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 20 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right)} = 2388 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}$$

Porównując otrzymaną wartość ciepła właściwego z wartościami podanymi np. w tablicach fizycznych, przekonamy się, że wartość ta odpowiada ciepłu właściwemu gliceryny, więc to właśnie gliceryna musi znajdować się w naczyniu.