Bilans cieplny – zadanie nr 14

Z jaką prędkością musiałaby poruszać się bryła ołowiu o temperaturze T₀ = 10 ^oC, aby stopić się podczas zderzenia z przeszkodą? Załóż, że 65% całkowitej energii uwolnionej podczas zderzenia zużywane jest na ogrzanie i stopienie ołowiu. Temperatura topnienia ołowiu T_tPb  = 327 ^oC, ciepło właściwe ołowiu c_wPb  = 131 J/(kg ∙ ^oC), ciepło topnienia ołowiu c_tPb  = 25 kJ/kg.

Ilość ciepła potrzebną do stopienia bryły ołowiu o masie m  możemy z łatwością obliczyć w oparciu o dwa równania opisujące sytuację przedstawioną w treści zadania. Pierwsze z równań wyraża ciepło Q₁, jakie musi zostać dostarczone, aby podgrzać ołów do temperatury topnienia:

$$Q_1 = m \hspace{.05cm} c_{wPb} \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.02cm} T = m \hspace{.05cm} c_{wPb} \left( T_{tPb} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right)$$

gdzie:
m  – masa bryły ołowiu,
c_wPb  – ciepło właściwe ołowiu,
T_tPb  – temperatura topnienia ołowiu,
T₀ – początkowa temperatura ołowiu.

Drugie z równań opisuje energię, jaką w formie ciepła Q₂ należy dostarczyć, aby stopić bryłę ołowiu:

$$Q_2 = m \hspace{.05cm} c_{tPb}$$

gdzie c_tPb  to ciepło topnienia ołowiu.

Całkowite ciepło Q_c  jakie musi zostać pobrane przez ołów wynosi więc:

$$Q_c = Q_1 + Q_2 = m \hspace{.05cm} c_{wPb} \left( T_{tPb} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) + m \hspace{.05cm} c_{tPb}$$

Powyższy wzór opisuje minimalną energię potrzebną do stopienia bryły ołowiu, jaka musi zostać dostarczona w procesie zderzenia bryły ołowiu z przeszkodą. Energię tą możemy powiązać z energią kinetyczną E_kPb  ołowiu, równą:

$$E_{kPb} = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V_{Pb}^2$$

Ponieważ zgodnie z treścią zadania tylko 65% energii kinetycznej zużywane jest na ogrzanie i stopienie ołowiu, dlatego powyższy wzór należy zapisać w poniższej formie:

$$E_{kPb} = \tfrac{65}{100} \cdot \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V_{Pb}^2$$

Przyrównując to wyrażenie z równaniem na całkowite ciepło Q_c , dostaniemy:

$$\tfrac{65}{100} \cdot \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V_{Pb}^2 = m \hspace{.05cm} c_{wPb} \left( T_{tPb} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) + m \hspace{.05cm} c_{tPb}$$

Po skróceniu m, przekształceniu względem prędkości V_Pb  oraz po spierwiastkowaniu, otrzymamy wzór na prędkość V_Pb :

$$V = \sqrt{\tfrac{200}{65} \cdot \left[ c_{wPb} \left( T_{tPb} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_0 \right) + c_{tPb} \right]}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy:

$$V = \sqrt{\tfrac{200}{65} \cdot \left[ 131 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left( 327 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 10 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right) + 25000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg}} \right]} = 452 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$