Bilans cieplny – zadanie nr 12

O ile wzrośnie temperatura wody o masie m₁ = 1,5 kg i temperaturze T₁ = 30 ^oC, jeżeli skroplimy w niej parę wodną o masie m₂ = 0,1 kg i temperaturze T₂ = 100 ^oC. Ciepło właściwe wody c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC), ciepło parowania c_par  = 2260 kJ/kg.

Wielkością szukaną w zadaniu jest różnica pomiędzy końcową a początkową temperaturą wody o masie m₁, w której skroplono parę wodną o masie m₂ i temperaturze T₂. Temperatura pary wodnej jest równa temperaturze skraplania pary (równej 100 ^oC), dlatego początkowo ciepło oddawane przez parę wodną będzie zużywane na zmianę jej stanu skupienia, czyli na realizację przejścia fazowego gaz – ciecz (zobacz: Bilans cieplny – zadanie nr 10). Ciepło oddane wodzie podczas tego procesu będzie równe:

$$Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_{par}$$

gdzie c_par  to ciepło parowania.

Efektem skroplenia pary wodnej będzie powstanie ciekłej wody o temperaturze 100 ^oC, która zmieszana z wodą o temperaturze T₁ będzie stopniowo oddawać jej ciepło. Proces ten będzie trwał dopóty, dopóki temperatura tego układu nie ulegnie wyrównaniu. Ciepło oddane przez wodę o masie m₂ i temperaturze T₂ będzie równe:

$$Q_2 = m_2 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

z kolei ciepło pobrane przez wodę o masie m₁ i temperaturze T₁ wyniesie:

$$Q_3 = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

gdzie c_w  to ciepło właściwe wody.

Zakładając, że podczas tych wszystkich procesów zarówno energia, jak i masa nie będą tracone, wówczas prawdziwe będzie poniższe równanie:

$$Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$$

Po wstawieniu do powyższego równania wyrażeń na Q₁, Q₂ oraz Q₃ dostaniemy:

$$- \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_{par} + m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right) + m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = 0$$

Aby znaleźć wyrażenie na końcową temperaturę T_k  układu wymnóżmy i następnie pogrupujmy wyrazy w powyższym wyrażeniu. Otrzymamy wówczas:

$$T_k \left( m_1 \hspace{.05cm} c_w + m_2 \hspace{.05cm} c_w \right) = m_2 \hspace{.05cm} c_{par} + m_1 \hspace{.05cm} c_w \hspace{.05cm} T_1 + m_2 \hspace{.05cm} c_w \hspace{.05cm} T_2$$

Dzieląc następnie uzyskane równanie przez $\left( m_1 \hspace{.05cm} c_w + m_2 \hspace{.05cm} c_w \right)$ dostaniemy:

$$T_k = \frac{c_w \left( m_1 \hspace{.05cm} T_1 + m_2 \hspace{.05cm} T_2 \right) + m_2 \hspace{.05cm} c_{par}}{m_1 \hspace{.05cm} c_w + m_2 \hspace{.05cm} c_w} = \frac{c_w \left( m_1 \hspace{.05cm} T_1 + m_2 \hspace{.05cm} T_2 \right) + m_2 \hspace{.05cm} c_{par}}{c_w \left( m_1 + m_2 \right)}$$

i w konsekwencji wartość temperatury T_k  równą:

$$T_k = \frac{4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left(1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 30 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} + 0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 100 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right) + 0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 2260000 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg}}}{4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left(1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg} + 0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \right)} = 68 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}$$

Powyższy wynik oznacza, że temperatura wody po skropleniu w niej pary wodnej wzrośnie o 38 ^oC.