Bilans cieplny – zadanie nr 10

W naczyniu częściowo wypełnionym wodą o masie m₁ = 4,6 kg i temperaturze T₁ = 29 ^oC skroplono parę wodną o masie m₂ = 0,1 kg i temperaturze T₂ = 100 ^oC. Oblicz ciepło parowania wody c_par  wiedząc, że temperatura wody wzrosła do T_k  = 42 ^oC. Ciepło właściwe wody c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC).

Zgodnie z treścią zadania para wodna, czyli woda w stanie gazowym, ma ponad trzykrotnie większą temperaturę, niż woda w stanie ciekłym, w związku z czym to właśnie para wodna będzie oddawać ciepło wodzie. Początkowo jednak cała energia będzie zużywana na skroplenie pary wodnej, czyli na realizację przejścia fazowego gaz – ciecz (para wodna – ciekła woda). Ciepło przemiany związane ze zmianą stanu skupienia gaz – ciecz (lub ciecz – gaz) jednostkowej masy ciała (substancji) nazywamy ciepłem parowania i oznaczamy jako c_par . Ciepło zużyte na skroplenie pary wodnej o masie m₂ wyniesie więc:

$$Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_{par}$$

gdzie c_par  to ciepło parowania wody (znak minus w powyższym wzorze oznacza, że para wodna oddała (straciła) energię w formie ciepła).

Po skropleniu pary, woda o temperaturze T₂ = 100 ^oC będzie na koszt wody o temperaturze T₁ = 29 ^oC oddawać ciepło tak długo, aż zostanie osiągnięty stan równowagi termodynamicznej tj. gdy temperatura obydwu wód ulegnie wyrównaniu (T_k  = 42 ^oC). Ciepło oddane przez wodę o masie m₂ i temperaturze T₂ będzie równe:

$$Q_2 = m_2 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

z kolei ciepło pobrane przez wodę o masie m₁ i temperaturze T₁ wyniesie:

$$Q_3 = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

gdzie c_w  to ciepło właściwe wody.

Zakładając, że rozważany układ jest układem izolowanym, czyli układem nie wymieniającym energii oraz masy z otoczeniem, możemy zapisać:

$$Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$$

skąd dostaniemy:

$$- \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_{par} + m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right) + m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = 0$$

Po przekształceniu powyższego równania względem ciepła parowania wody c_par , otrzymamy:

$$c_{par} = \frac{c_w \left[ m_1 \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) + m_2 \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right) \right]}{m_2} = c_w \left[ \tfrac{m_1}{m_2} \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) + T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right]$$

Po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń dostaniemy szukaną wartość c_par  równą:

$$c_{par} = \frac{4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left[ 4,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \left( 42 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 29 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right) + 0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot \left( 42 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 100 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right) \right]}{0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} = 2260 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kJ}}{\textrm{kg}}$$