Bilans cieplny – zadanie nr 9

Oblicz jaki musi być stosunek masy wody o temperaturze T₁ = 12 ^oC do masy lodu o temperaturze T₂ = – 2 ^oC, aby po całkowitym stopieniu lodu woda miała temperaturę T_k  = 2 ^oC. Ciepło właściwe wody c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC), ciepło właściwe lodu c_l  = 2200 J/(kg ∙ ^oC), ciepło topnienia lodu c_top  = 333 kJ/kg.

Na początek wprowadźmy oznaczenia: m₁ – masa wody, m₂ – masa lodu. Aby obliczyć stosunek mas $\dfrac{m_1}{m_2}$ zapiszmy równania opisujące sytuację przedstawioną w treści zadania. Wiemy, że temperatura końcowa wody wynosi T_k  = 2 ^oC, dlatego ciepło oddane przez wodę musiało zostać zużyte na dwa procesy cieplne: ogrzanie lodu od temperatury T₂ = – 2 ^oC do temperatury T_k2 = 0 ^oC oraz stopienie lodu.

Ciepło zużyte na ogrzanie lodu wyniosło:

$$Q_1 = m_2 \hspace{.1cm} c_l \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_l \left(T_{k2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

Ciepło wykorzystane do stopienia lodu:

$$Q_2 = m_2 \hspace{.05cm} c_{top}$$

Ciepło oddane przez wodę o masie m₁ i temperaturze T₁ = 12 ^oC na dwa powyższe procesy cieplne:

$$Q_3 = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

Przy założeniu, że układ ten traktujemy jako układ izolowany, czyli układ nie wymieniający energii oraz masy z otoczeniem, dostaniemy:

$$Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$$

skąd uzyskamy:

$$m_2 \hspace{.1cm} c_l \left(T_{k2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right) + m_2 \hspace{.05cm} c_{top} + m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = 0$$

Po grupowaniu wyrazów otrzymamy:

$$m_2 \left[ c_l \left( T_{k2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right) + c_{top} \right] = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_1 \hspace{.05cm} c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

i w konsekwencji szukane wyrażenie na stosunek mas $\dfrac{m_1}{m_2}$ (aby pozbyć się znaku minus przed wyrażeniem $\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_1 \hspace{.05cm} c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$ przekształciliśmy je do postaci $m_1 \hspace{.05cm} c_w \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_k \right)$):

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{c_l \left( T_{k2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right) + c_{top}}{c_w \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_k \right)}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych podanych w treści zadania uzyskamy wartość stosunku $\dfrac{m_1}{m_2}$ równą (zwróć uwagę, że ciepło topnienia lodu wyrażone jest w kJ/kg, dlatego w poniższym wzorze, dla ułatwienia obliczeń, wartość tego ciepła wyrażona jest w J/kg) :

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2200 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left( 0 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right) \right) + 333000 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg}}}{4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left( 12 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right)} \approx 8,\hspace{-.1cm}1$$

Powyższy wynik oznacza, że masa wody musi być prawie 8,1 razy większa niż masa lodu.