Bilans cieplny – zadanie nr 8

Do wody o masie m₁ = 9,32 kg i temperaturze T₁ = 9 ^oC wrzucono kawałek lodu o masie m₂ = 0,80 kg i temperaturze T₂ = 0 ^oC. Oblicz ciepło topnienia lodu wiedząc, że temperatura wody po stopieniu lodu zmniejszyła się do T_k  = 2 ^oC. Ciepło właściwe wody jest znane i wynosi c_w  = 4186 J/(kg ⋅ ^oC).

Przed wrzuceniem kawałka lodu temperatura wody wynosiła T₁ = 9 ^oC. Po wrzuceniu lodu o temperaturze T₂ = 0 ^oC temperatura wody obniżyła się do temperatury T_k  = 2 ^oC. Ciepło oddane przez wodę zostało w związku z tym zużyte na dwa procesy cieplne: stopienie kawałka lodu oraz ogrzanie powstałej wody (po stopieniu lodu) od T₂ = 0 ^oC do T_k  = 2 ^oC. Zajmijmy się więc zapisaniem odpowiednich równań. Ciepło oddane przez wodę o masie m₁ i temperaturze T₁, wyniosło:

$$Q_1 = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$$

gdzie c_w  to ciepło właściwe wody.

Ciepło potrzebne do stopienia lodu o masie m₂ i temperaturze T₂ było równe (zobacz: Bilans cieplny – zadanie nr 7):

$$Q_2 = m_2 \hspace{.05cm} c_{top}$$

gdzie c_top  to ciepło topnienia lodu.

Ciepło kosztem którego woda o masie m₂ (powstała po stopieniu lodu) zwiększyła swoją temperaturę do T_k  = 2 ^oC, wyniosło:

$$Q_3 = m_2 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

Traktując ten układ jako układ izolowany, czyli układ nie wymieniający energii i masy z otoczeniem, możemy zapisać:

$$Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$$

skąd po podstawieniu w miejsce Q₁, Q₂ i Q₃ podanych wyżej wzorów, dostaniemy:

$$m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) + m_2 \hspace{.05cm} c_{top} + m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right) = 0$$

Przekształcając powyższe równanie względem ciepła topnienia lodu c_top  otrzymamy:

$$c_{top} = \frac{- \hspace{.05cm} m_1 \hspace{.05cm} c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)}{m_2} = c_w\left[ \tfrac{m_1}{m_2} \left( T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_k \right) + T_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_k \right]$$

(aby pozbyć się znaku minus stojącego przed masą m₁ i m₂ zamieniliśmy miejscami temperatury występujące w obydwu nawiasach okrągłych)

Po podstawieniu wartości liczbowych podanych w treści zadania uzyskamy szukaną wartość ciepła topnienia lodu równą:

$$c_{top} = 4186 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left[ \frac{9,\hspace{-.1cm}32 \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{0,\hspace{-.1cm}80 \hspace{.05cm} \textrm{kg}} \cdot \left( 9 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right) + 0 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right] = 333 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kJ}}{\textrm{kg}}$$