Bilans cieplny – zadanie nr 7

Oblicz ile energii należy dostarczyć, aby bryłę lodu o masie 10 kg i temperaturze – 10 ^oC zamienić w wodę o temperaturze 25 ^oC. Ciepło topnienia lodu c_top  = 333 kJ/kg, ciepło właściwe lodu c_l  = 2200 J/(kg ∙ ^oC), ciepło właściwe wody c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC).

W dotychczas omawianych zadaniach dotyczących bilansu cieplnego zajmowaliśmy się przypadkami, w których dostarczanie bądź odbieranie ciepła powodowało wzrost lub spadek temperatury danego ciała (substancji). Okazuje się jednak, że ciała, które pobierają lub oddają energię w formie ciepła nie muszą wcale zmieniać swojej temperatury – zamiast tego ciała te mogą zmieniać swój stan skupienia (tzw. fazę). Ilość energii jaką w postaci ciepła należy przekazać lub odebrać jednostkowej masie ciała (substancji), aby uległo ono przemianie fazowej nazywamy ciepłem przemiany i oznaczamy c_prz . Ciepło potrzebne do zmiany stanu skupienia ciała (substancji) o masie m  wynosi więc:

$$Q = m \hspace{.05cm} c_{prz}$$

gdzie:
m  – masa ciała (substancji),
c_prz  – ciepło przemiany.

Aby obliczyć ile energii w formie ciepła należy przekazać bryle lodu, aby zamienić ją w ciekłą wodę o temperaturze 25 ^oC musimy rozważyć trzy procesy cieplne. Lód nie może ulec stopieniu w temperaturze niższej od temperatury topnienia równej 0 ^oC, dlatego początkowo cała energia dostarczana do bryły lodu będzie zużywana na zwiększenie jej temperatury z T_p1 = – 10 ^oC do T_k1 = 0 ^oC. Opisuje to poniższy wzór:

$$Q_1 = m \hspace{.05cm} c_l \hspace{.05cm} \Delta T = m \hspace{.05cm} c_l \left( T_{k1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_{p1} \right)$$

gdzie:
m  – masa bryły lodu,
c_l  – ciepło właściwe lodu.

Kolejnym krokiem będzie stopienie bryły lodu, czyli realizacja przejścia fazowego lód – ciekła woda. Ciepło przemiany c_prz  związane z przejściem fazowym ciało stałe – ciecz jednostkowej masy ciała (substancji) nazywamy ciepłem topnienia c_top . Ciepło potrzebne do stopienia bryły lodu wynosi wobec tego:

$$Q_2 = m \hspace{.05cm} c_{top}$$

gdzie c_top  to ciepło topnienia lodu.

Ostatnim etapem będzie ogrzanie ciekłej wody o temperaturze T_p3 = 0 ^oC do temperatury T_k3 = 25 ^oC. Ciepło dostarczane do wody będzie w całości zużywane na zwiększenie jej temperatury, którego wartość obliczymy z poniższego wzoru:

$$Q_3 = m \hspace{.05cm} c_w \hspace{.05cm} \Delta T = m \hspace{.05cm} c_w \left( T_{k3} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_{p3} \right)$$

gdzie:
m  – masa ciekłej wody (równa masie lodu),
c_w  – ciepło właściwe wody.

Całkowite ciepło potrzebne do stopienia bryły lodu i zamiany jej w wodę o temperaturze 25 ^oC jest równe sumie energii cieplnych Q₁, Q₂ i Q₃:

$$Q_c = Q_1 + Q_2 + Q_3 = m \hspace{.05cm} c_l \left( T_{k1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_{p1} \right) + m \hspace{.05cm} c_{top} + m \hspace{.05cm} c_w \left( T_{k3} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_{p3} \right)$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych i wykonaniu obliczeń dostaniemy:

$$Q_c = 220 \hspace{.05cm} \textrm{kJ} + 3330 \hspace{.05cm} \textrm{kJ} + 1046,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kJ} = 4595,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{kJ} \approx 4,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{MJ}$$