Bilans cieplny – zadanie nr 6

Do zbiornika częściowo wypełnionego wodą o masie m₁ = 1 kg i temperaturze T₁ = 18 ^oC wrzucono kawałek miedzi o masie m₂ = 0,38 kg i temperaturze T₂ = 135 ^oC. Oblicz temperaturę końcową układu woda – miedź wiedząc, że ciepło właściwe wody i miedzi wynosi odpowiednio: c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC) i c_Cu  = 386 J/(kg ∙ ^oC).

Aby obliczyć końcową temperaturę T_k  układu woda – miedź zapiszmy na początku wyrażenia opisujące ciepło Q₁ pobrane przez wodę od rozgrzanego kawałka miedzi oraz ciepło Q₂ oddane wodzie przez kawałek miedzi. Jeżeli układ woda – miedź potraktujemy jako układ izolowany tj. układ nie wymieniający energii oraz masy z otoczeniem, dostaniemy (zobacz: Bilans cieplny – zadanie nr 1):

$$Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_{Cu} \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie:
m₁, T₁ i c_w  to odpowiednio masa, początkowa temperatura i ciepło właściwe wody,
m₂, T₂ i c_Cu  to masa, początkowa temperatura i ciepło właściwe miedzi,
T_k  – końcowa temperatura układu woda – miedź.

Po wymnożeniu powyższego równania otrzymamy:

$$m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} T_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_{Cu} \hspace{.1cm} T_k \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_{Cu} \hspace{.1cm} T_2$$

Po przeniesieniu na lewą stronę równania członów zawierających temperaturę końcową T_k  układu dostaniemy:

$$T_k \left( m_1 \hspace{.05cm} c_w + m_2 \hspace{.05cm} c_{Cu} \right) = m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} T_1 + m_2 \hspace{.1cm} \hspace{.05cm} c_{Cu} \hspace{.1cm} T_2$$

i w konsekwencji wyrażenie na T_k  równe:

$$T_k = \frac{m_1 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} T_1 + m_2 \hspace{.1cm} \hspace{.05cm} c_{Cu} \hspace{.1cm} T_2}{m_1 \hspace{.05cm} c_w + m_2 \hspace{.05cm} c_{Cu}}$$

Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych podanych w treści zadania uzyskamy wartość T_k  równą:

$$T_k = \frac{1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot 18 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} + 0,\hspace{-.1cm}38 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 386 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot 135 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} }{1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} + 0,\hspace{-.1cm}38 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 386 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}}} = 22 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C}$$