Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne – zadanie nr 3

Praca wyjścia metalu A wynosi W_A  = 3 eV, a metalu B W_B  = 1,5 eV. Jaka będzie prędkość wybitego elektronu wskutek zjawiska fotoelektrycznego dla długości światła  λ = 300 nm i λ = 600 nm.

Podobnie jak w zadaniu Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne – zadanie nr 1 i Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne – zadanie nr 2 korzystamy z zasady zachowania energii dla zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego:

$$E_f = W + E_k$$

gdzie:
E_f  – energia fotonu,
W  – praca wyjścia elektronu z powierzchni przedmiotu,
E_k  – energia kinetyczna wybitego elektronu.

Wielkością szukaną jest prędkość wybitego elektronu z powierzchni metalu A i B. Zanim ją obliczymy, sprawdźmy najpierw czy energia fotonu o długości fali  λ₁ = 300 nm i λ₂ = 600 nm jest większa od pracy wyjścia obydwu metali.

Energia E_f1 fotonu o długości fali  λ₁ = 300 nm wynosi:

$$E_{f1} = 6,\hspace{-.1cm}626 \cdot 10^{-34} \hspace{.05cm} \textrm{J} \cdot \textrm{s} \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{3 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 6,\hspace{-.1cm}626 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{J} = 4,\hspace{-.1cm}14 \hspace{.05cm} \textrm{eV}$$

a energia E_f2 fotonu o długości fali  λ₂ = 600 nm jest równa:

$$E_{f2} = 6,\hspace{-.1cm}626 \cdot 10^{-34} \hspace{.05cm} \textrm{J} \cdot \textrm{s} \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{6 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 3,\hspace{-.1cm}31 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{J} = 2,\hspace{-.1cm}07 \hspace{.05cm} \textrm{eV}$$

(skorzystaliśmy z zależności 1 eV = 1,6 ⋅ 10^-19 J).

Praca wyjścia metalu A wynosi W_A  = 3 eV, a metalu B – W_B  = 1,5 eV, w związku z czym foton o długości fali  λ₁ = 300 nm spowoduje wybicie elektronu z powierzchni obydwu metali, a foton o długości fali  λ₂ = 600 nm tylko z metalu B.

Prędkość V  wybitych elektronów obliczymy w oparciu o ich energię kinetyczną E_k. Zgodnie z wzorem opisującym zasadę zachowania energii dla zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego, energia kinetyczna elektronu wynosi:

$$E_k = E_f \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} W$$

Dla fotonu o energii E_f1, mamy więc:

$$E_{k1,A} = E_{f1} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} W_A = 4,\hspace{-.1cm}14 \hspace{.05cm} \textrm{eV} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 3 \hspace{.05cm} \textrm{eV} = 1,\hspace{-.1cm}14 \hspace{.05cm} \textrm{eV}$$

oraz:

$$E_{k1,B} = E_{f1} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} W_B = 4,\hspace{-.1cm}14 \hspace{.05cm} \textrm{eV} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{eV} = 2,\hspace{-.1cm}64 \hspace{.05cm} \textrm{eV}$$

a dla fotonu o energii E_f2:

$$E_{k2,B} = E_{f2} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} W_B = 2,\hspace{-.1cm}07 \hspace{.05cm} \textrm{eV} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{eV} = 0,\hspace{-.1cm}57 \hspace{.05cm} \textrm{eV}$$

Energia kinetyczna E_k  elektronu jest równa:

$$E_k = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m_e \hspace{.05cm} V^2$$

gdzie m_e  to masa elektronu równa 9,1031 ⋅ 10^-31 kg.

Po przekształceniu powyższego równania względem prędkości V, dostaniemy:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_k}{m_e}}$$

i w konsekwencji (pamiętając o zamianie energii z eV na J):

$$V_{1,A} = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k1,A}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,\hspace{-.1cm}14 \hspace{.05cm} \textrm{eV} \cdot 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{eV}}}{9,\hspace{-.1cm}1031 \cdot 10^{-31} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 6,\hspace{-.1cm}3 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

$$V_{1,B} = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k1,B}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,\hspace{-.1cm}64 \hspace{.05cm} \textrm{eV} \cdot 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{eV}}}{9,\hspace{-.1cm}1031 \cdot 10^{-31} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 9,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

$$V_{2,B} = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} E_{k2,B}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,\hspace{-.1cm}57 \hspace{.05cm} \textrm{eV} \cdot 1,\hspace{-.1cm}6 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{eV}}}{9,\hspace{-.1cm}1031 \cdot 10^{-31} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}} = 4,\hspace{-.1cm}5 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$