Foton. Promieniowanie elektromagnetyczne – zadanie nr 5

Oblicz prędkość rozchodzenia się w przezroczystym ośrodku składowej fioletowej i czerwonej światła białego. Przyjmij, że w powietrzu długość fali składowej fioletowej jest równa λ_f  = 410 nm, a składowej czerwonej – λ_cz  = 690 nm (zadanie nawiązujące do pytania za milion złotych zadanego w teleturnieju “Milionerzy”).

Wszystkie fale elektromagnetyczne, do których zaliczamy m.in. światło, rozchodzą się w próżni z jednakową prędkością c  równą w przybliżeniu 3 ⋅ 10⁸ m/s. Gdy światło wnika i przechodzi przez przezroczysty ośrodek o współczynniku załamania światła n, wówczas prędkość światła w tymże ośrodku ulega zmniejszeniu. Wraz ze zmianą prędkości rozchodzenia się światła zmienia się również długość fali świetlnej. Im większa wartość współczynnika załamania światła ośrodka tym mniejsza prędkość oraz długość fali światła (zobacz: Współczynnik załamania światła).

Aby obliczyć prędkość rozchodzenia się w przezroczystym ośrodku składowej fioletowej i czerwonej światła białego skorzystamy z wzoru wiążącego współczynnik załamania światła n  ośrodka z prędkością światła V  w tym ośrodku:

$$n = \dfrac{c}{V}$$

oraz z wyrażenia wiążącego częstotliwość f  światła z długością jego fali λ (aby uniknąć nieporozumień częstotliwość światła, zamiast małą grecką literą ni – ν, oznaczono tym razem małą literą f ):

$$f = \dfrac{c}{\lambda}$$

Wielkością wspólną dla powyższych zależności jest prędkość światła w próżni c. Po przekształceniu tych wyrażeń względem prędkości c  oraz przyrównaniu ich stronami, otrzymamy:

$$n \hspace{.05cm} V = \lambda \hspace{.05cm} f$$

Ogólne wyrażenie na prędkość światła V  w przezroczystym ośrodku o współczynniku załamania światła n, wynosi:

$$V = \dfrac{\lambda \hspace{.05cm} f}{n}$$

W tym miejscu należy zaznaczyć, że podczas przechodzenia światła pomiędzy ośrodkami różniącymi się współczynnikiem załamania, zmianie ulega tylko prędkość i długość fali świetlnej. Częstotliwość światła pozostaje stała (nie ulega zmianie). Korzystając z powyższego wzoru, mamy:

– prędkość składowej fioletowej:

$$V_f = \dfrac{\lambda_f \hspace{.05cm} f_f}{n}$$

– prędkość składowej czerwonej:

$$V_{cz} = \dfrac{\lambda_{cz} \hspace{.05cm} f_{cz}}{n}$$

Długość fali λ_f  i  λ_cz  jest znana. Częstotliwość f_f   i  f_cz  musimy znaleźć. Korzystając ze wzoru $f = \dfrac{c}{\lambda}$,  dostaniemy:

– częstotliwość f_f  składowej fioletowej:

$$f_f = \dfrac{c}{\lambda_f} = \dfrac{3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{410 \hspace{.05cm} \textrm{nm}} = \dfrac{3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{410 \cdot 10^{-9} \textrm{m}} = 7,\hspace{-.05cm}317073170731707 \cdot 10^{14} \hspace{.05cm} \textrm{Hz}$$

– częstotliwość f_cz  składowej czerwonej:

$$f_{cz} = \dfrac{c}{\lambda_{cz}} = \dfrac{3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{690 \hspace{.05cm} \textrm{nm}} = \dfrac{3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{690 \cdot 10^{-9} \textrm{m}} = 4,\hspace{-.05cm}347826086956522 \cdot 10^{14} \hspace{.05cm} \textrm{Hz}$$

(różnica prędkości między składowymi światła białego jest na tyle mała, że potrzebujemy bardzo dokładnych wartości częstotliwości f )

Znając częstotliwość i długość fali składowej fioletowej i czerwonej możemy przystąpić do obliczeń. Aby wynik obliczeń nie był zależny od konkretnej wartości współczynnika załamania ośrodka n  obliczymy stosunek prędkości tych dwóch składowych:

$$\dfrac{V_f}{V_{cz}} = \dfrac{\dfrac{\lambda_f \hspace{.05cm} f_f}{n}}{\dfrac{\lambda_{cz} \hspace{.05cm} f_{cz}}{n}} = \dfrac{\lambda_f \hspace{.05cm} f_f}{\lambda_{cz} \hspace{.05cm} f_{cz}} = \dfrac{410 \cdot 10^{-9} \textrm{m} \cdot 7,\hspace{-.05cm}3170731707 \cdot 10^{14} \hspace{.05cm} \textrm{Hz}}{690 \cdot 10^{-9} \textrm{m} \cdot 4,\hspace{-.05cm}3478260869 \cdot 10^{14} \hspace{.05cm} \textrm{Hz}} = 0,999999999999999$$

Powyższy wynik oznacza, że składowa czerwona światła białego rozchodzi się w ośrodku przezroczystym z większą prędkością niż składowa fioletowa.