Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 9

Przy użyciu soczewki skupiającej otrzymano powiększenie obrazu przedmiotu równe -3. Oblicz ogniskową f  tej soczewki wiedząc, że odległość przedmiotu od środka tej soczewki wynosiła 6 cm.

Aby obliczyć długość ogniskowej f  soczewki skorzystamy z równania soczewki:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki.

Odległość przedmiotu x  jest znana. Odległość y  musimy znaleźć. Wiemy, że powiększenie p  uzyskanego obrazu wynosi -3, w związku z czym:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3$$

Po przekształceniu powyższej zależności względem y, dostaniemy:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3 \hspace{.05cm}x \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y = 3 \hspace{.05cm} x$$

Podstawiając uzyskane wyrażenie do równania soczewki, otrzymamy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{3 \hspace{.05cm} x} = \frac{3 \hspace{.05cm} x + x}{3 \hspace{.05cm} x^2} = \frac{4}{3 \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{f}$$

i w konsekwencji szukaną wartość ogniskowej f, równą:

$$f = \frac{3 \hspace{.05cm} x}{4} = \frac{3 \cdot 6 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{4} = 4,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$