Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 8

Zdolność skupiająca pewnej soczewki wynosi 10 D. Wiedząc, że przedmiot znajduje się w odległości x  = 30 cm od tej soczewki oblicz:
a) w jakiej odległości od soczewki powstanie obraz przedmiotu,
b) długość ogniskowej tej soczewki.

Na początku obliczymy ogniskową f  soczewki. Wiemy, że jej zdolność skupiająca Z  wynosi 10 D. Zgodnie z poniższym wzorem, zdolność skupiająca soczewki równa się odwrotności jej ogniskowej f :

$$Z = \frac{1}{f}$$

dlatego po przekształceniu powyższej zależności względem f  dostaniemy:

$$f = \frac{1}{Z} = \frac{1}{10 \hspace{.05cm} \textrm{D}} = \frac{1}{10} \hspace{.05cm} \textrm{m} = 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Znając długość ogniskowej możemy przystąpić do obliczenia odległości obrazu y  od środka soczewki. Korzystając z równania soczewki:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki.

dostaniemy:

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{x} = \frac{x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} f}{f \cdot x}$$

Po odwróceniu stronami powyższej zależności otrzymamy wyrażenie na y :

$$y = \frac{f \cdot x}{x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} f}$$

i w konsekwencji szukaną wartość odległości y  równą:

$$y = \frac{10 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot 30 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{30 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = \frac{300 \hspace{.05cm} \textrm{cm}^2}{20 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = 15 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$