Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 7

Przedmiot o wysokości h  = 2 m ustawiono w odległości x  = 8 m od szklanej soczewki skupiającej o współczynniku załamania n  = 1,5 i promieniach krzywizny powierzchni załamujących wynoszących r₁  = 20 cm i r₂  = 15 cm. Oblicz, gdzie powstał obraz i jakiej jest wielkości. Oblicz zdolność skupiającą tej soczewki.

Wielkościami szukanymi w zadaniu są: odległość obrazu y  od środka soczewki, wysokość obrazu h’  oraz zdolność skupiająca Z  soczewki. Aby obliczyć odległość y  musimy zgodnie z poniższym wzorem (równanie soczewki) znać odległość przedmiotu x  od środka soczewki oraz ogniskową f  soczewki:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{y} = \frac{1}{f} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{x}$$

Odległość x  jest znana. Długość ogniskowej f  musimy wyznaczyć. Gdy będziemy już znali wartość f, będziemy mogli również obliczyć zdolność skupiającą Z  tej soczewki. Ponieważ współczynnik załamania n  soczewki oraz jej promienie krzywizny r₁  i r₂  są znane, dlatego w celu obliczenia ogniskowej będziemy mogli skorzystać z wyrażenia, nazywanego wzorem szlifierzy soczewek:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_2} \right)$$

który dla soczewki skupiającej wyraża się następująco:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

Zdolność skupiająca Z  soczewki wynosi w związku z powyższym:

$$Z = \frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) = \left( 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{m}} + \frac{1}{0,\hspace{-.1cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{m}} \right) = 5,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{D}$$

Wstawiając następnie wyrażenie na 1/f  do równania soczewki podanego na wstępie zadania, otrzymamy:

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{x} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{x} = \frac{x \hspace{.05cm} \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1}{x}$$

skąd po odwróceniu stronami dostaniemy:

$$y = \frac{x}{x \hspace{.05cm} \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1} = \frac{8 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{8 \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot \left( 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \cdot \left( \dfrac{1}{0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{m}} + \dfrac{1}{0,\hspace{-.1cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{m}} \right)} = 0,\hspace{-.1cm}18 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Aby obliczyć wysokość h’  obrazu skorzystamy ze wzoru na powiększenie liniowe p  soczewki:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x}$$

Podstawiając do powyższego wzoru wartości liczbowe otrzymamy:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{0,\hspace{-.1cm}18 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{8 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2,\hspace{-.1cm}25 \cdot 10^{-2}$$

Wartość liczbowa powiększenia p  informuje nas, że obraz przedmiotu jest 0,0225 razy pomniejszony, a znak minus oznacza, że obraz ten jest obrazem odwróconym (posiada przeciwną orientację, niż przedmiot).

Korzystając z wartości powiększenia p  możemy przystąpić do obliczenia wysokości h’  obrazu:

$$|p| = \frac{h’}{h} = \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} h’ = |p| \cdot h = 2,\hspace{-.1cm}25 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 0,\hspace{-.1cm}045 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 4,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$