Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 6

Oblicz ogniskową dwuwypukłej soczewki szklanej o współczynniku załamania n  = 1,5 i jednakowych promieniach krzywizny równych 15 cm, gdy ta znajduje się:
a) w wodzie, której współczynnik załamania wynosi n  = 1,33,
b) w powietrzu, którego współczynnik załamania wynosi n  = 1.

Ogniskową f  dowolnej soczewki możemy powiązać z jej współczynnikiem załamania n, jej promieniami krzywizny r₁  i r₂  oraz ze współczynnikiem załamania n_osr  ośrodka, w którym się znajduje, za pomocą poniższego wzoru:

$$\frac{1}{f} = \left( \frac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_2} \right)$$

W przypadku soczewki dwuwypukłej powyższy wzór przyjmuje następującą postać:

$$\frac{1}{f} = \left( \frac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

Z treści zadania wynika, że promienie krzywizny r₁  i r₂  powierzchni załamujących soczewki są jednakowe, dlatego też r₁  = r₂  = r . Korzystając z tej zależności dostaniemy:

$$\frac{1}{f} = \left( \frac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{r} \right) = \left( \frac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{2 \hspace{.05cm} r}{r^2} \right) = \left( \frac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{2}{r}$$

i w konsekwencji wyrażenie na ogniskową f  soczewki równe:

$$f = \frac{1}{\left( \dfrac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \dfrac{2}{r}} = \frac{r}{2 \hspace{.05cm} \left( \dfrac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)}$$

Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy szukaną długość ogniskowej soczewki, gdy ta znajduje się:

– w wodzie:

$$f_w = \frac{15 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{2 \cdot \left( \dfrac{1,\hspace{-.1cm}5}{1,\hspace{-.1cm}33} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)} = 59 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

– w powietrzu:

$$f_p = \frac{15 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{2 \cdot \left( \dfrac{1,\hspace{-.1cm}5}{1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)} = 15 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$