Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 5

Ze szkła o współczynniku załamania n  = 1,5 musisz wykonać soczewkę dwuwklęsłą o ogniskowej f  = 5 cm, przy czym jedna z powierzchni wklęsłych ma mieć dwa razy większy promień krzywizny, niż druga. Jakie to będą promienie krzywizny?

Wartość promienia krzywizny r₁  i r₂  powierzchni załamujących dwuwklęsłej soczewki obliczymy korzystając z wyrażenia, nazywanego wzorem szlifierzy soczewek:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_2} \right)$$

gdzie:
f  – ogniskowa soczewki,
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
r₁  i r₂  – promienie krzywizny soczewki.

Wartość ogniskowej f  i współczynnik załamania n  podano w treści zadania. Wiemy także, że promień krzywizny jednej z powierzchni wklęsłych soczewki, który oznaczymy jako r₁ , musi być dwukrotnie większy od promienia r₂  drugiej powierzchni, w związku z czym r₁  = 2 r₂ . Zgodnie z teorią, gdy dowolny przedmiot umieścimy po lewej stronie soczewki dwuwklęsłej, wówczas przedmiot ten znajdzie się przed wklęsłą powierzchnią soczewki, której promień krzywizny r₁  uznajemy za ujemny: – r₁ . Względem drugiej powierzchni załamującej soczewki, przedmiot znajduje się przed jej wypukłą powierzchnią, której promień krzywizny r₂  uznajemy z kolei za dodatni: + r₂ . Wstawiając podane zależności do powyższego równania otrzymamy:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm}r_2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_2} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{r_2 + 2 \hspace{.05cm} r_2}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} r_2^2} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{3}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} r_2} \right)$$

Po przekształceniu oraz odwróceniu stronami, dostaniemy:

$$\frac{3 \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} r_2} = \frac{1}{f} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r_2 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{3 \hspace{.05cm} f \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)}{2}$$

Po wstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy długość promienia krzywizny r₂ , równą:

$$r_2 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{3 \cdot 5 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot \left( 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1 \right)}{2} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{7,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{2} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Znając wartość r₂  możemy obliczyć promień r₁ . Pamiętając, że r₁  = 2 r₂ , otrzymamy:

$$r_1 = 2 \hspace{.05cm} r_2 = 2 \cdot \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 7,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$